Question

15．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+$\sqrt{15}$x+2m-1=0．
（1）請(qǐng)你為m選取一個(gè)合適的正整數(shù)，使得到的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)x₁，x₂是（1）中所得到的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求x₁²+x₂²+x₁x₂的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△＞0求得m的取值范圍，再進(jìn)一步在范圍之內(nèi)確定m的一個(gè)整數(shù)值；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)x₁²+x₂²+x₁x₂進(jìn)行變形求解．

解答 解：（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=15-4（2m-1）＞0，解得m＜$\frac{19}{8}$．
∴m=1．

（2）當(dāng)m=1時(shí)，則得方程x²+$\sqrt{15}$x+1=0，
∵x₁，x₂是方程x²+4x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=-$\sqrt{15}$，x₁x₂=1，
∴x₁²+x₂²+x₁x₂=（x₁+x₂）²-x₁x₂=（-$\sqrt{15}$）²-1=14．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：①△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．以及根與系數(shù)的關(guān)系．