Question

如圖，D是等腰直角△ABC的直角邊BC上一點(diǎn)，AD的垂直平分線(xiàn)EF分別交AC、AD、AB于E、M、F，BC=2．
（1）當(dāng)CD=

2

時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，四邊形AEDF是何種特殊的平行四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并求出CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,勾股定理,等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）設(shè)AE=x，則EC=2-x，ED=AE=x，在△ECD中，利用EC²+CD²=ED²列出有關(guān)x的方程求得AE的長(zhǎng)即可；
（2）首先利用兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四百那些證得四邊形AEDF為平行四邊形，然后證得對(duì)角線(xiàn)垂直，從而利用對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形即可．

解答：解：（1）設(shè)AE=x，則EC=2-x，ED=AE=x，
在△ECD中，EC²+CD²=ED²，
即：（2-x）²+（

2

）²=x²，
解得：x=

3

2

．
（2）四邊形AEDF是菱形，理由如下：
∵：AD平分∠BAC，
∴△AFD為等腰三角形，AE=AF，
∵BAC=45°，
∴∠AEF=∠AFE=67.5°，
∵△AFD和△AED都是等腰三角形，
∴AFD=∠DFM，∠AEF=∠DEF，
∴AFD=135°，∠AED=135°，
∴EDF=45°，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∵AD⊥EF，
∴四邊形AEDF為菱形；
設(shè)CD=x，則BD=AE=2-x，ED=

2

x，
則

2

x=2-x，
解得：x=2

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中整理出直角三角形，難點(diǎn)是判定菱形．