Question

如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，點P在矩形的邊DC上由D向C運動．沿直線AP翻折△ADP，形成如下四種情形．設(shè)DP=x，△ADP和矩形重疊部分（陰影）的面積為y．

（1）如圖丁，當(dāng)點P運動到與C重合時，求重疊部分的面積y；
（2）如圖乙，當(dāng)點P運動到何處時，翻折△ADP后，點D恰好落在BC邊上這時重疊部分的面積y等于多少？
（3）閱讀材料：已知銳角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα來表示，即tan2α=

2tanα

1-(tanα)2

（α≠45°）．根據(jù)上述閱讀材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范圍．
（提示：在圖丙中可設(shè)∠DAP=a）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式，只需求得CE的長，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)等腰三角形ACE，設(shè)CE=m，則DE=10-m．在直角三角形CED′中，根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）要求DP的長，也可在直角三角形CPD′中，根據(jù)勾股定理求解；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，知分為兩種情況討論：當(dāng)0≤x≤5時，由圖甲知y=S_△ADP；當(dāng)5＜x＜8時，如圖丙，重疊部分的面積即是直角梯形的面積減去兩個直角三角形的面積．

解答：解：（1）由題意可得∠DAC=∠D′AC=∠ACE，∴AE=CE．
設(shè)AE=CE=m，則BE=10-m．
在Rt△ABE中，得m²=8²+（10-m）²，∴m=8.2．
∴重疊部分的面積y=

1

2

•CE•AB=

1

2

×8.2×8=32.8（平方單位）．
（另法：過E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO）．

（2）由題意可得△DAP≌△D′AP，
∴AD′=AD=10，PD′=DP=x．
在Rt△ABD′中，∵AB=8，∴BD′=

102-82

=6，于是CD′=4．
在Rt△PCD′中，由x²=4²+（8-x）²，得x=5．
此時y=

1

2

•AD•DP=

1

2

×10×5=25（平方單位）．
表明當(dāng)DP=5時，點D恰好落在BC邊上，這時y=25．
（另法：由Rt△ABD′∽Rt△PCD′可求得DP）．

（3）由（2）知，DP=5是甲，丙兩種情形的分界點．
當(dāng)0≤x≤5時，由圖甲知y=S_△ADP=S_△ADP=

1

2

•AD•DP=5x．
當(dāng)5＜x＜8時，如圖丙，設(shè)∠DAP=α，則∠AEB=2α，∠FPC=2α．
在Rt△ADP中，得tanα=

DP

AD

=

x

10

．
根據(jù)閱讀材料，即tan2α=

2tanα

1-(tanα)2

，得出tan2α=

2• x 10

1-( x 10 )2

=

20x

100-x2

．
在Rt△ABE中，有BE=AB∕tan2α=

8

20x 100-x2

=

2(100-x2)

5x

．
同理，在Rt△PCF中，有CF=（8-x）tan2α=

20x(8-x)

100-x2

．
∴S_△ABE=

1

2

•AB•BE=

1

2

×8×

2(100-x2)

5x

=

8(100-x2)

5x

．
S_△PCF=

1

2

•PC•CF=

1

2

（8-x）×

20x(8-x)

100-x2

=

10x(8-x)2

100-x2

．
而S_梯形ABCP=

1

2

（PC+AB）×BC=

1

2

（8-x+8）×10=80-5x．
故重疊部分的面積y=S_梯形ABCP-S_△ABE-S_△PCF=80-5x-

8(100-x2)

5x

-

10x(8-x)2

100-x2

．
經(jīng)驗證，當(dāng)x=8時，y=32.8適合上式．
綜上所述，當(dāng)0≤x≤5時，y=5x；當(dāng)5＜x≤8時，y=80-5x-

8(100-x2)

5x

-

10x(8-x)2

100-x2

．

點評：此題要能夠結(jié)合矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的角相等和對應(yīng)的線段相等，熟練運用勾股定理列方程求解．能夠分情況討論重疊部分的面積．難度較大．