Question

17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=3．直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，且保持直線m∥AC．設(shè)直線m與矩形OABC的其中兩條邊分別交于點(diǎn)M、N，直線m運(yùn)動的時間為t（秒），△OMN的面積為S，且S與t的函數(shù)圖象如圖2（實線部分）所示．

（1）圖1中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），矩形OABC的面積為12；圖2中，a=4，b=6．
（2）求圖2中的圖象所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（3）求t為何值時，直線m把矩形OABC的面積分成1：3兩部分．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象和矩形的面積公式進(jìn)行解答；
（2）利用待定系數(shù)法和相似三角形的判定和性質(zhì)得出0＜t≤4和4＜t＜8的解析式即可；
（3）由矩形OABC的面積為12被分成1：3兩部分分0＜t≤4和4＜t＜8兩種情況進(jìn)行解答．

解答 解：（1）因為OA=4，OC=3，
所以可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），
矩形的面積=4×3=12，
根據(jù)圖象得出當(dāng)a=4時，面積=$\frac{1}{2}×4×3=6$，即b=6，
故答案為：B（4，3），矩形OABC的面積=12，
a=4，b=6；
（2）當(dāng)0＜t≤4時，如圖1，

∵M(jìn)N∥AC，
∴$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OC}$，即$\frac{t}{4}=\frac{ON}{3}$，
解得：ON=$\frac{3t}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}OM•ON=\frac{1}{2}t•\frac{3}{4}t=\frac{3}{8}{t}^{2}$，
當(dāng)4＜t＜8時，如圖2，

∵OD=t，
∴AD=t-4，
由△DAM∽△AOC，得AM=$\frac{3}{4}（t-4）$，
∴BM=$6-\frac{3}{4}t$，
由△BMN∽△BAC，得BN=$\frac{4}{3}BM$=8-t，
∴CN=t-4，
∴S=S_矩形OABC-S_△OAM-S_△MBN-S_△NCO
=12-$\frac{3}{2}（t-4）-\frac{1}{2}（8-t）（6-\frac{3}{4}t）-\frac{3}{2}（t-4）=-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t$，
（另解：S=S_△ODN-S_△ODM=$\frac{3}{2}t-\frac{t-\frac{3}{4}（t-4）}{2}=-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t$ ）
（3）∵矩形OABC的面積為12被分成1：3兩部分，
∴可得分成三角形和五邊形的面積分別為3和9，
當(dāng)0＜t≤4時，S_△AOC=3，
∴$\frac{3}{8}{t}^{2}=3$，
解得$t=2\sqrt{2}$，
當(dāng)4＜t＜8時，S_△MBN=3，
∴$\frac{1}{2}（8-t）（6-\frac{3}{4}t）$=3，
解得${t}_{1}=8-2\sqrt{2}$，${t}_{2}=8+2\sqrt{2}＞8$（不合題意，舍去），
綜上：當(dāng)t=$2\sqrt{2}$或t=$8-2\sqrt{2}$時矩形OABC的面積被MN分成1：3兩部分．

點(diǎn)評 此題考查相似三角形綜合問題，關(guān)鍵是利用圖象和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行分析解答．