Question

7．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為二次函數(shù)的頂點，已知點（-1，0），點C（0，-3），直線DE為二次函數(shù)的對稱軸，交BC于點E，交x軸于點F．
（1）求拋物線的解析式和點D的坐標；
（2）直線DE上是否存在點M，使點M到x軸的距離于到BD的距離相等？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）已知點Q是線段BD上的動點，點D關(guān)于EQ的對稱點是點D′，是否存在點Q使得△EQD′與△EQB的重疊部分圖象為直角三角形？若存在，請求出DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，求出拋物線解析式，再根據(jù)頂點坐標公式，即可求出頂點坐標；
（2）根據(jù)點M到x軸和BD的距離相等，即可得到點M在∠FBD的平分線上，根據(jù)全等即可求出BN的長度，從而求出DN的長度，根據(jù)勾股定理，列出方程，計算即可；
（3）分三種情況：①當點D′落在線段BD上，△EQD′與△EQB的重疊部分圖象為直角三角形，故過點E作EQ⊥BD與點Q，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出DQ的長度；②當點D′落在線段BD的右側(cè)時，△EQD′與△EQB的重疊部分圖象為直角三角形，故過點E作ED′⊥BD，交BD于點M，且ED′=ED．根據(jù)銳角三角函數(shù)求出DQ的長度；③當點D′落在線段BD的左側(cè)時，△EQD′與△EQB的重疊部分圖象為直角三角形，故過點E作EM⊥BD于點M，作∠BEM的平分線EQ，交BD于點Q．

解答 解：（1）拋物線經(jīng)過點A（-1，0），點C（0，-3），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=x²-2x-3，
∴$-\frac{2a}=-\frac{-2}{2}=1$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}=\frac{-12-4}{4}=-4$，
∴頂點坐標D（1，-4）．
（2）存在．
①拋物線與x軸交于點B，可得點B（3，0），
過點M作MN⊥BD于點N，連接BE，如圖1，
設(shè)點M的坐標為（1，-m），
∵MF=MN，MF⊥AB，MN⊥BD，
∴點M在∠FBD的平分線上，
∵BM=BM，
∴Rt△BFM≌Rt△BNM（HL），
∴BM=BF=2，
在Rt△BDF中，BF=2，DF=4，
∴BD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴DN=4-m，
在Rt△MND中，MN=m，DM=4-m，
∴${m}^{2}+（2\sqrt{5}-2）^{2}=（4-m）^{2}$，解得：m=$\sqrt{5}-1$，
∴點M（1，$1-\sqrt{5}$）．
（3）存在．
①設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，點B（3，0），點C（0，-3）在直線BC上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=x-3．
直線BC與直線DF相交于點E，可得點E（1，-2），
∴DE=-2-（-4）=2，
過點E作EQ⊥BD與點Q，此時點D′落在線段BD上，且△EQD′與△EQB的重疊部分圖象為直角三角形，如圖2，
由（2）可知，BD=$2\sqrt{5}$，
由△DEQ∽△DBF，得：$\frac{DQ}{DE}=\frac{DF}{DB}$，
即$\frac{DQ}{2}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$，解得：DQ=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
②過點E作ED′⊥BD，交BD于點M，且ED′=ED．
由點B（3，0），D（-1，4），可得y_BD=2x-6，
由ED′⊥BD，可得y_ED′=$-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-6}\\{y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{5}}\\{y=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴點M（$\frac{9}{5}$，$-\frac{12}{5}$），
∴ED′=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由圖2可知，DM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，DE=2，
如圖3，在Rt△EDM中，sin∠MED=$\frac{MD}{DE}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
cos∠MED=$\frac{ME}{DE}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠QED′=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{1+\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
由點D與點D′關(guān)于EQ對稱，可知，∠MEQ=$\frac{1}{2}$∠MED，
∴tan∠$\frac{QED′}{2}$=$\frac{MQ}{ME}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{MQ}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，解得：MQ=1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵BD=2$\sqrt{5}$，
∴DQ=MD-MQ=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-（1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）=$\sqrt{5}$-1．
③過點E作EM⊥BD于點M，作∠BEM的平分線EQ，交BD于點Q，
∵點M（$\frac{9}{5}$，$-\frac{12}{5}$），點E（1，-2），點B（3，0），
由兩點的距離公式，可得：EM=$\sqrt{（1-\frac{9}{5}）^{2}+（-2+\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
BM=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，BE=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BEM中，sin∠BEM=$\frac{BM}{BE}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cos∠BEM=$\frac{EM}{BE}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴∠MEQ=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{1+\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
∴$\frac{MQ}{EM}=\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
即$\frac{MQ}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，解得：MQ=$\frac{10\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{15}$，
∵DM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴DQ=DM+MQ=$\frac{10\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{15}$+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3}$．
綜上所述，DQ的長度為：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或$\sqrt{5}$-1或$\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)、相似三角形等知識的綜合運用，能靈活應(yīng)用各知識點是解決此題的關(guān)鍵．