Question

如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)A是OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OA＜AB，分別以O(shè)A、AB為邊在x軸上方作等邊三角形OAC和等邊三角形ABD，連接CD，E為CD的中點(diǎn)，雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，若AE=

79

2

時(shí)，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,待定系數(shù)法

分析：作EH⊥OB于H點(diǎn)，則EH為梯形CMND的中位線，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)得EH=

1

2

（CM+DN）=

5 3

2

，HM=

1

2

MN=

1

2

（ON-OM）=

5

2

，得到AH=

5

2

-

1

2

t或

1

2

t-

5

2

，
再利用勾股定理得AE²=AH²+EH²，即（

5 3

2

）²+（

5-t

2

）²=（

79

2

）²，解得t₁=3，t₂=7，然后分別確定E點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式可得到k的值．，

解答：解：作EH⊥OB于H點(diǎn)，如圖，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴EH為梯形CMND的中位線，
∴EH=

1

2

（CM+DN）=

1

2

[

3

2

t+

3

2

（10-t）]=

5 3

2

，HM=

1

2

MN=

1

2

（ON-OM）=

1

2

[t+

1

2

（10-t）-

1

2

t]=

5

2

，
∴AH=

5

2

-

1

2

t或

1

2

t-

5

2

，
在Rt△AEH中，AE²=EH²+AH²，
（

5 3

2

）²+（

5-t

2

）²=（

79

2

）²，
∴解得：t₁=3，t₂=7，
當(dāng)t=3時(shí)，OH=

5

2

+

1

2

t=4，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，

5 3

2

），
把E（4，

5 3

2

）代入y=

k

x

得k=4×

5 3

2

=10

3

；
當(dāng)t=7時(shí)，OH=

5

2

+

t

2

=6，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（6，

5 3

2

），
把E（6，

5 3

2

）代入y=

k

x

得k=6×

5 3

2

=15

3

；
綜上所述：k的值為10

3

或15

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其函數(shù)解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識(shí)，用未知數(shù)表示出EH，AH的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．