Question

18．如圖，直線y=-x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c經(jīng)過B、C兩點，點E是直線BC上方拋物線上的一動點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）過點E作y軸的平行線交直線BC于點M、交x軸于點F，當(dāng)S_△BEC=$\frac{3}{2}$時，請求出點E和點M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)E點的橫坐標(biāo)為1時，在EM上是否存在點N，使得△CMN和△CBE相似？如果存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線y=-x+3求得點B、C坐標(biāo)，代入拋物線解析式求得b、c即可得；
（2）設(shè)E（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3），則M（x，-x+3），可知EM=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，根據(jù)S_△BEC=S_△BEM+S_△MEC=$\frac{1}{2}$EM•OC=$\frac{3}{2}$列出關(guān)于x的方程，解之可得答案；
（3）由題意得出∠BCO=∠CBE=∠CMN=45°、BE=1、CB=3$\sqrt{2}$、CM=2$\sqrt{2}$，根據(jù)$\frac{MN}{BE}$=$\frac{CM}{CB}$和$\frac{MN}{CB}$=$\frac{CM}{BE}$分別求出MN即可得．

解答 解：（1）∵直線y=-x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，
∴點B的坐標(biāo)是（0，3），點C的坐標(biāo)是（3，0），
∵y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c經(jīng)過B、C兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+\frac{3}{2}+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3．

（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，
∴設(shè)點E的坐標(biāo)是（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3），
則點M的坐標(biāo)是（x，-x+3），
∴EM=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3-（-x+3）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S_△BEC=S_△BEM+S_△MEC=$\frac{1}{2}$EM•OC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）×3=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x，
∴-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x=$\frac{3}{2}$，
解得，x₁=1，x₂=2，
即點E的坐標(biāo)是（1，3）或（2，2），
此時對應(yīng)的M的坐標(biāo)是（1，2）或（2，1）．

（3）存在．
∵B（0，3）、E（1，3），
∴BE=1，且BE∥OC，
由（1）知OB=OC=3，
∴∠BCO=∠CBE=∠CMN=45°，
∴CB=3$\sqrt{2}$，CM=2$\sqrt{2}$，

①當(dāng)$\frac{MN}{BE}$=$\frac{CM}{CB}$時，△CMN∽△CBE，
即$\frac{MN}{1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，得MN=$\frac{2}{3}$，
∴FN=$\frac{4}{3}$，
∴N（1，$\frac{4}{3}$）；
②當(dāng)$\frac{MN}{CB}$=$\frac{CM}{BE}$時，△CMN∽△EBC，
即$\frac{MN}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{1}$，得MN=12，
∴FN=-10，
N′（1，-10），
∴在EM上存在符合條件的點N，其坐標(biāo)為（1，$\frac{4}{3}$）或（1，-10）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、割補(bǔ)法求三角形的面積、解一元二次方程及相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．