Question

9．若將拋物線F：拋物線y=x²+bx$\frac{9}{2}$改成y=ax²+bx+c，拋物線的頂點為P，與y軸交于點A，與直線OP交于點B．過點P作PD⊥x軸于點D，平移拋物線F使其經(jīng)過點A、D得到拋物線F′：y=a′x²+b′x+c′，拋物線F′與x軸的另一個交點為C．且a、b、c滿足了b²=2ac
①求b：b′的值；
②探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先表示出D的坐標，將D的坐標代入拋物線F′中，即可得出關(guān)于b，b′的關(guān)系式，即可得出b，b′的比例關(guān)系；
（2）探究四邊形OABC的形狀，無非是平行四邊形，菱形，矩形這幾種．那么首先要證的是四邊形OABC是個平行四邊形，已知了OA∥BC，只需看A，B的縱坐標是否相等，即OA是否與BC的長相等．根據(jù)拋物線F的解析式可求出P點的坐標，然后用待定系數(shù)法可求出OP所在直線的解析式．進而可求出拋物線F與直線OP的交點B的坐標，然后判斷B的縱坐標是否與A點相同，如果相同，則四邊形OABC是矩形（∠AOC=90°），如果B，A點的縱坐標不相等，那么四邊形AOCB是個直角梯形．

解答 解：（1）拋物線y=ax²+bx+c中，令x=0，則y=c，
∴A點坐標（0，c）．
∵b²=2ac，
∴$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{4ac-2ac}{4a}$=$\frac{2ac}{4a}$=$\frac{c}{2}$，
∴點P的坐標為（-$\frac{2a}$，$\frac{c}{2}$）．
∵PD⊥x軸于D，
∴點D的坐標為（-$\frac{2a}$，0）．
根據(jù)題意，得a=a′，c=c′，
∴拋物線F′的解析式為y=ax²+b'x+c．
又∵拋物線F′經(jīng)過點D（-$\frac{2a}$，0），
∴0=a×$\frac{^{2}}{4{a}^{2}}$+b'（-$\frac{2a}$）+c．
∴0=b²-2bb'+4ac．
又∵b²=2ac，
∴0=3b²-2bb'．
∴b：b′=2：3．
（2）由（1）得，拋物線F′為y=ax²+$\frac{3}{2}$bx+c．
令y=0，則ax²+$\frac{3}{2}$bx+c=0．
∴x₁=-$\frac{2a}$，x₂=-$\frac{a}$．
∵點D的橫坐標為-$\frac{2a}$
∴點C的坐標為（-$\frac{a}$，0）．
設直線OP的解析式為y=kx．
∵點P的坐標為（-$\frac{2a}$，$\frac{c}{2}$），
∴$\frac{c}{2}$=-$\frac{2a}$k，
∴k=-$\frac{ac}$=-$\frac{2ac}{2b}$=-$\frac{^{2}}{2b}$=-$\frac{2}$，
∴y=-$\frac{2}$x．
∵點B是拋物線F與直線OP的交點，
∴ax²+bx+c=-$\frac{2}$x．
∴x₁=-$\frac{2a}$，x₂=-$\frac{a}$．
∵點P的橫坐標為-$\frac{2a}$，
∴點B的橫坐標為-$\frac{a}$．
把x=-$\frac{a}$代入y=-$\frac{2}$x，
得y=-$\frac{2}$（-$\frac{a}$）=$\frac{^{2}}{2a}$．
∴點B的坐標為（-$\frac{a}$，c）．
∴BC∥OA，AB∥OC，
∴四邊形OABC是平行四邊形．
又∵∠AOC=90°，
∴四邊形OABC是矩形．

點評 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的平移變換、探究矩形的構(gòu)成情況等重要知識點，函數(shù)圖象的平移問題，弄清楚拋物線在平移過程中，各系數(shù)的變化情況是解答（1）問題的關(guān)鍵所在，（2）問題關(guān)鍵要表示出關(guān)鍵點的坐標即線段的長度，是判斷四邊形形狀的關(guān)鍵．