Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=－2x+42交x軸與點(diǎn)A,交直線y=x于點(diǎn)B,拋物線分別交線段AB、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)分別為16和4，點(diǎn)P在這條拋物線上．

（1）求點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)．

（2）求a、c的值．

（3）若Q為線段OB上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，求線段PQ的長．

（4）若Q為線段OB或線段AB上的一點(diǎn)，PQ⊥x軸，設(shè)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為d（d＞0），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．

（參考公式：二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為）

 

Answer 1

【答案】

（1）C的縱坐標(biāo)為10，D的縱坐標(biāo)為4（2），10（3）或（4）0≤m＜4或12≤m＜16

【解析】解：（1）∵點(diǎn)C在直線AB：y=－2x+42上，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為16，

∴y=－2×16+42=10，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為10。

∵D點(diǎn)在直線OB：y=x上，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4。

（2）由（1）知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），

∵拋物線經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，

∴，解得：。∴拋物線的解析式為。

（3）∵P為線段OB上一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5，∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為5。

∵點(diǎn)Q在拋物線上，縱坐標(biāo)為5，∴，解得。

當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，5），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長為；

當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ，5），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長為。

所以線段PQ的長為或。

（4）當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時，d隨m的增大而減小。

（1）點(diǎn)C在直線AB：y=－2x+42上，將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入即可求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理可知：D點(diǎn)在直線OB：y=x上，將D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

（2）拋物線經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，列出關(guān)于a和c二元二次方程組，解出a和c即可。

（3）根據(jù)Q為線段OB上一點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，則可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，又知P點(diǎn)在拋物線上，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可，P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的絕對值即為線段PQ的長。

（4）根據(jù)PQ⊥x軸，可知P和Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)的坐標(biāo)，①當(dāng)Q是線段OB上的一點(diǎn)時，結(jié)合圖形寫出m的范圍，②當(dāng)Q是線段AB上的一點(diǎn)時，結(jié)合圖形寫出m的范圍即可：

根據(jù)題干條件：PQ⊥x軸，可知P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，

∵拋物線y=，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（8，2）。

聯(lián)立，解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（14，14）。

①當(dāng)點(diǎn)Q為線段OB上時，如圖所示，

當(dāng)0≤m＜4或

12≤m≤14時，d隨m的增大而減�。�

②當(dāng)點(diǎn)Q為線段AB上時，如圖所示，當(dāng)14≤m＜16時，d隨m的增大而減小。

綜上所述，當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時，d隨m的增大而減小。