Question

6．如圖，已知半徑為$\sqrt{3}$的⊙P的圓心P在直線y=$\sqrt{3}$x上運動．
（1）當⊙P與坐標軸只有一個公共點時，求這個公共點的坐標．
（2）當⊙P與坐標軸有且只有三個公共點時，求圓心P與原點O之間的距離．
（3）當⊙P與坐標軸有4個公共點時．
①直接指出點P的橫坐標的取值范圍；
②設⊙P與x軸的交點為E，F(xiàn)，點P到y(tǒng)軸的距離為a，試用含a的代數(shù)式表示E，F(xiàn)的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先確定直線與x軸的夾角，然后根據(jù)圓P與坐標軸有一個交點時與y軸相切確定PA=3，然后確定OA的長，從而確定點A的坐標；
（2）當圓P與坐標軸有三個交點時圓P與x軸相切，與y軸相交，根據(jù)半徑PB的長確定PO的長即可；
（3）根據(jù)點P到y(tǒng)軸的距離確定點P的橫坐標，從而確定交點的橫坐標即可，注意分兩種情況：一種在第一象限，一種在第三象限．

解答 解：∵半徑為$\sqrt{3}$的⊙P的圓心P在直線y=$\sqrt{3}$x上運動，
∴設P（a，$\sqrt{3}$a），直線PO與x軸的夾角為α，
則tanα=$\frac{\sqrt{3}a}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴∠α=60°；
（1）當⊙P與坐標軸只有一個公共點時，如圖1，

∵⊙P的半徑為$\sqrt{3}$，即PA=$\sqrt{3}$，∠POA=30°，
∴PO=2$\sqrt{3}$，
∴由勾股定理得OA=3，
∴點A的坐標為（0，3），
當點P位于第三象限時可得點A的坐標為（0，-3），
∴當⊙P與坐標軸只有一個公共點時，求這個公共點的坐標為（0，3）或（0，-3）；

（2）當⊙P與x軸相切、與y軸相交時與坐標軸有三個公共點，如圖2：

此時PB=$\sqrt{3}$，則PO=$\frac{OB}{sin60°}=2$，
∴圓心P與原點之間的距離為2；

（3）①由（2）知：點P的橫坐標為a，則當-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$時，有4個公共點；
②如圖3，作OC⊥x軸于點C，連接PF，

∵點P到y(tǒng)軸的距離為a，
∴PC=a，
∵PF=$\sqrt{3}$，
∴CF=CE=$\sqrt{3-{a}^{2}}$，
∴點F的坐標為（a+$\sqrt{3-{a}^{2}}$，0），點E的坐標為（a-$\sqrt{3-{a}^{2}}$，0）；
同理當點P位于第三象限時，點F的坐標為（-a+$\sqrt{3-{a}^{2}}$，0），點E的坐標為（-a-$\sqrt{3-{a}^{2}}$，0）；

點評 本題考查了圓的綜合知識，題目中將圓與坐標系結合，運用了圖形與坐標的知識，解答時能將點的坐標和線段的長有機的結合在一起，是解答本題的重點和關鍵點，難度中等偏上．