Question

【題目】如圖，在正方形中，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接．

（1）求證：；

（2）用等式表示線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）若正方形的邊長(zhǎng)為4，取DH的中點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BM長(zhǎng)的最小值。

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2），證明詳見(jiàn)解析；（3）BM最小值為

【解析】

（1）連接．首先證明，再證≌，即可得證；

（2）首先在上取點(diǎn)使得，連接，由（1）中≌，得出，同理可得，進(jìn)而得出∠EDG=45°，然后根據(jù)

得出DE=HE，又由AD=AB，AM=AE，得出DM=EB，再由余角的性質(zhì)得∠MDE=∠BEH進(jìn)而判定≌，得出，在中，利用勾股定理，得，即可得出；

（3）將正方形看成以點(diǎn)A為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，根據(jù)題意，得出，即點(diǎn)M在線(xiàn)段AC上，當(dāng)BM⊥AC時(shí)，BM最小，即可得解.

（1）證明：連接．

∵點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，

∴DA=DF，EA=EF

又∵DE=DE

∴（SSS）

∴∠DFE=90°

又∵DA=DF，DA=DC

∴DF=DC

又∵DG=DG

∴≌（HL）

∴．

（2）．

證明：在上取點(diǎn)使得，連接．

∵≌

∴

同理：

∴

又∵

∴DE=HE

又∵AD=AB，AM=AE

∴DM=EB

又∵∠MDE+∠AED=∠BEH+∠AED=90°

∴∠MDE=∠BEH

∴≌（SAS）.

∴

在中，，．

∴

即.

（3）將正方形看成以點(diǎn)A為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)AE=x

根據(jù)題意，得A（0,0），D（0,4），

是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，由（2）得知，則H（x+4，x）

∵DH的中點(diǎn)M，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

∴

∴點(diǎn)M在線(xiàn)段AC上，

∴當(dāng)BM⊥AC時(shí)，BM最小，BM最小值為