Question

拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn),已知拋物線的對(duì)稱軸為，

,，

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）   在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）   平行于軸的一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓恰好與軸相切，求此圓的半徑．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）將代入，

   得 ．

   將，代入，

得 ．……….(1)

 

∵是對(duì)稱軸，

∴．          (2)

將（2）代入（1）得

，    ．

所以，二次函數(shù)得解析式是．

（2）與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為到的距離之差最大的點(diǎn)．

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴ 直線的解析式是，

又對(duì)稱軸為，

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)．   

（3）設(shè)、，所求圓的半徑為r，

則 ，…………….(1)

     ∵ 對(duì)稱軸為，

∴  ．        …………….(2)

由（1）、（2）得：．……….(3)

將代入解析式，

得  ，………….(4)

整理得： ．

由于 r=±y，當(dāng)時(shí)，，

解得， ，  （舍去），

當(dāng)時(shí)，，

解得，  ，  （舍去）．

    所以圓的半徑是或．

【解析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)C點(diǎn)，可得出c=-3，對(duì)稱軸x=1，則-=1，然后可將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，聯(lián)立由對(duì)稱軸得出的關(guān)系式即可求出拋物線的解析式．

（2）本題的關(guān)鍵是要確定P點(diǎn)的位置，由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，因此可連接AC，那么P點(diǎn)就是直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)．可根據(jù)A、C的坐標(biāo)求出AC所在直線的解析式，進(jìn)而可根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性可知：圓心必在對(duì)稱軸上．因此可用半徑r表示出M、N的坐標(biāo)，然后代入拋物線中即可求出r的值．