Question

如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=12，∠ACO=30°
（1）求B、C兩點的坐標；
（2）過點G（0，-6）作GF⊥AC，垂足為F，直線GF分別交AB、OC于點E、D，求直線DE的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點P，使以O(shè)、F、M、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用三角函數(shù)求得OA以及OC的長度，則C、B的坐標即可得到；
（2）先求出直線DE的斜率，設(shè)直線DE的解析式是y=

3

x+b，再把點G代入求出b的值即可；
（3）分當(dāng)FM是菱形的邊和當(dāng)OF是對角線兩種情況進行討論．利用三角函數(shù)即可求得P的坐標．

解答：解：（1）在直角△OAC中，
∵∠ACO=30°
∴tan∠ACO=

OA

OC

=

3

3

，
∴設(shè)OA=

3

x，則OC=3x，
根據(jù)勾股定理得：（3x）²+（

3

x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2

3

．
故C的坐標是：（6

3

，0），B的坐標是（6

3

，6）；

（2）∵直線AC的斜率是：-

6

6 3

=-

3

3

，
∴直線DE的斜率是：

3

．
∴設(shè)直線DE的解析式是y=

3

x+b，
∵G（0，-6），
∴b=-6，
∴直線DE的解析式是：y=

3

x-6；

（3）∵C的坐標是：（6

3

，0），B的坐標是（6

3

，6）；
∴A（0，6），
∴設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

6=b 0=6 3 k+b

，
解得

b=6 k=- 3 3

．
∴直線AC的解析式為y=-

3

3

x+6．
∵直線DE的解析式為y=

3

x-6，
∴

y=- 3 3 x+6 y= 3 x-6

，
解得

x=3 3 y=3

．
∴F是線段AC的中點，
∴OF=

1

2

AC=6，
∵直線DE的斜率是：

3

．
∴DE與x軸夾角是60°，
當(dāng)FM是菱形的邊時（如圖1），ON∥FM，
則∠POC=60°或120°．
當(dāng)∠POC=60°時，過N作NG⊥y軸，則PG=OP•sin30°=6×

1

2

=3，
OG=OP•cos30°=6×

3

2

=3

3

，則P的坐標是（3，3

3

）；
當(dāng)∠NOC=120°時，與當(dāng)∠POC=60°時關(guān)于原點對稱，則坐標是（-3，-3

3

）；
當(dāng)OF是對角線時（如圖2），MP關(guān)于OF對稱．
∵F的坐標是（3

3

，3），
∴∠FOD=∠POF=30°，
在直角△OPH中，OH=

1

2

OF=3，OP=

OH

cos∠POH

=

3

3 2

=2

3

．
作PL⊥y軸于點L．
在直角△OPL中，∠POL=30°，
則PL=

1

2

OP=

3

，
OL=OP•cos30°=2

3

×

3

2

=3．
故P的坐標是（

3

，3）．
當(dāng)DE與y軸的交點時G，這個時候P在第四象限，
此時點的坐標為：（3

3

，-3）．
則P的坐標是：（3

3

，-3）或（3，3

3

）或（-3，-3

3

）或（

3

，3）．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，在解答（3）時要注意分兩種情況進行討論，不要漏解．