Question

6．如圖①，△ABC的角平分線BD，CE相交于點(diǎn)P．

（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度數(shù)；
（2）如圖②，過P點(diǎn)作直線MN，分別交AB和AC于點(diǎn)M和N，探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）將直線MN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，使MN與AC的交點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線上，如圖③，∠MPB，∠NPC，∠A三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB，再根據(jù)角平分線定義得到∠BPC=180°-（$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB），再利用三角形內(nèi)角和定理得∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，然后把∠A的度數(shù)代入計(jì)算；
（2）如圖③，結(jié)論：∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．根據(jù)平角定義得∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC，然后根據(jù)（1）的求解；
（3）不成立，結(jié)論是：∠MPB-∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．由∠MPB=180°-∠BPN=180°-（∠BPC-∠NPC），推出∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A），由此即可證明．

解答 解：（1）如圖①

∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，且∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠BPC=180°-（∠1+∠2）=180°-50°=130°．

（2）如圖③，結(jié)論：∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

理由：由（1）知：∠BPC=180°-（∠1+∠2）；
∵∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BPC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

（3）不成立，結(jié)論是：∠MPB-∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
如圖③

理由：由（�。┲�：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠MPB=180°-∠BPN=180°-（∠BPC-∠NPC），
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；牢固掌握三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義等幾何知識(shí)點(diǎn)是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．