Question

如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點(diǎn)A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點(diǎn)M稱為碟頂，點(diǎn)M到線段AB的距離稱為碟高．

（1）拋物線y=x2對(duì)應(yīng)的碟寬為　 　；拋物線y=4x2對(duì)應(yīng)的碟寬為　 　；拋物線y=ax2（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為　　；拋物線y=a（x﹣2）2+3（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為　　；

（2）拋物線y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；

（3）將拋物線y=anx2+bnx+cn（an＞0）的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)蝶形記為Fn（n=1，2，3…），定義F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n為相似準(zhǔn)蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比．若Fn與Fn﹣1的相似比為，且Fn的碟頂是Fn﹣1的碟寬的中點(diǎn)，現(xiàn)將（2）中求得的拋物線記為y1，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形記為F1．

①求拋物線y2的表達(dá)式；

②若F1的碟高為h1，F(xiàn)2的碟高為h2，…Fn的碟高為hn，則hn=　　，F(xiàn)n的碟寬有端點(diǎn)橫坐標(biāo)為　2　；F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線上？若是，直接寫出該直線的表達(dá)式；若不是，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）4；1；；．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)定義可算出y=ax2（a＞0）的碟寬為、碟高為，由于拋物線可通過平移y=ax2（a＞0）得到，得到碟寬為、碟高為，由此可得碟寬、碟高只與a有關(guān)，與別的無關(guān)，從而可得．

（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)碟寬易得a的值．

（3）①根據(jù)y1，容易得到y(tǒng)2．

②結(jié)合畫圖，易知h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直線x=2上，可以考慮hn∥hn﹣1，且都過Fn﹣1的碟寬中點(diǎn)，進(jìn)而可得．畫圖時(shí)易知碟寬有規(guī)律遞減，由此可得右端點(diǎn)的特點(diǎn)．對(duì)于“F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線上？”，我們可以推測(cè)任意相鄰的三點(diǎn)是否在一條直線上，如果相鄰的三個(gè)點(diǎn)不共線則結(jié)論不成立，反之則成立，所以可以考慮基礎(chǔ)的幾個(gè)圖形關(guān)系，利用特殊點(diǎn)求直線方程即可．

試題解析：（1）4；1；；．

∵a＞0，

∴y=ax2的圖象大致如下：

其必過原點(diǎn)O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點(diǎn)為C，連接OA，OB．

∵△DAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，

∴OC⊥AB，

∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，

∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，

∴AC=OC=BC，

∴xA=-yA，xB=yB，代入y=ax2，

∴A（﹣，），B（，），C（0，），

∴AB=，OC=，

即y=ax2的碟寬為．

①拋物線y=x2對(duì)應(yīng)的a=，得碟寬為4；

②拋物線y=4x2對(duì)應(yīng)的a=4，得碟寬為為；

③拋物線y=ax2（a＞0），碟寬為；

④拋物線y=a（x﹣2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖形，

∵平移不改變形狀、大小、方向，

∴拋物線y=a（x﹣2）2+3（a＞0）的準(zhǔn)碟形與拋物線y=ax2的準(zhǔn)碟形全等，

∵拋物線y=ax2（a＞0），碟寬為，

∴拋物線y=a（x﹣2）2+3（a＞0），碟寬為．

（2）∵y=ax2﹣4ax﹣，

∴由（1），其碟寬為，

∵y=ax2﹣4ax﹣的碟寬為6，

∴=6，

解得A=，

∴y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣3

（3）①∵F1的碟寬：F2的碟寬=2：1，

∴=，

∵a1=，

∴a2=．

∵y=（x﹣2）2﹣3的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），

∴A（﹣1，0），B（5，0），

∴F2的碟頂坐標(biāo)為（2，0），

∴y2=（x﹣2）2．

②∵Fn的準(zhǔn)碟形為等腰直角三角形，

∴Fn的碟寬為2hn，

∵2hn：2hn﹣1=1：2，

∴hn=hn﹣1=（）2hn﹣2=（）3hn﹣3=…=（）n+1h1，

∵h(yuǎn)1=3，

∴hn=．

∵h(yuǎn)n∥hn﹣1，且都過Fn﹣1的碟寬中點(diǎn)，

∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在一條直線上，

∵h(yuǎn)1在直線x=2上，

∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直線x=2上，

∴Fn的碟寬右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+．

另，F(xiàn)1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)在一條直線上，直線為y=﹣x+5．

分析如下：

考慮Fn﹣2，F(xiàn)n﹣1，F(xiàn)n情形，關(guān)系如圖2，

Fn﹣2，F(xiàn)n﹣1，F(xiàn)n的碟寬分別為AB，DE，GH；C，F(xiàn)，I分別為其碟寬的中點(diǎn)，都在直線x=2上，連接右端點(diǎn)，BE，EH．

∵AB∥x軸，DE∥x軸，GH∥x軸，

∴AB∥DE∥GH，

∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，

∴四邊形GFEH，四邊形DCBE都為平行四邊形，

∴HE∥GF，EB∥DC，

∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF，

∴GF∥DC，

∴HE∥EB，

∵HE，EB都過E點(diǎn)，

∴HE，EB在一條直線上，

∴Fn﹣2，F(xiàn)n﹣1，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是在一條直線，

∴F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是在一條直線．

∵F1：y1=（x﹣2）2﹣3準(zhǔn)碟形右端點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），

F2：y2=（x﹣2）2準(zhǔn)碟形右端點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，），

∴待定系數(shù)可得過兩點(diǎn)的直線為y=﹣x+5，

∴F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是在直線y=﹣x+5上．

考點(diǎn)：1、等腰直角三角形；2、二次函數(shù)的性質(zhì)；3多點(diǎn)共線