Question

17．設(shè)p，q都是實(shí)數(shù)，且p＜q．我們規(guī)定：滿足不等式p≤x≤q的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[p，q]．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)p≤x≤q時(shí)，有p≤y≤q，我們就稱(chēng)此函數(shù)是閉區(qū)間[p，q]上的“閉函數(shù)”．
（1）反比例函數(shù)y=$\frac{2016}{x}$是閉區(qū)間[1，2016]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；
（2）若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{2016}{x}$的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組$\left\{\begin{array}{l}{km+b=m}\\{kn+b=n}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{km+b=n}\\{kn+b=m}\end{array}\right.$，通過(guò)解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值．

解答 解：（1）是；
由函數(shù)$y=\frac{2014}{x}$的圖象可知，當(dāng)1≤x≤2014時(shí)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減少，而當(dāng)x=1時(shí)，y=2014；x=2014時(shí)，y=1，故也有1≤y≤2014，
所以，函數(shù)$y=\frac{2014}{x}$是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”．

（2）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，所以根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，必有：
①當(dāng)k＞0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}km+b=m\\ kn+b=n\end{array}\right.（{m≠n}）$，
解之得k=1，b=0．
∴一次函數(shù)的解析式為y=x． 
②當(dāng)k＜0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}km+b=n\\ kn+b=m\end{array}\right.（{m≠n}）$，解之得k=-1，b=m+n．
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+m+n．  
故一次函數(shù)的解析式為y=x或y=-x+m+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是弄清楚“閉函數(shù)”的定義．解題時(shí)，也要注意“分類(lèi)討論”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．