Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)， 于點(diǎn)交軸于點(diǎn)．已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、．

（）求拋物線(xiàn)的函數(shù)式．

（）連接，點(diǎn)在線(xiàn)段上方的拋物線(xiàn)上，連接、，若和面積滿(mǎn)足，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（）如圖， 為中點(diǎn)，設(shè)為線(xiàn)段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接．一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿線(xiàn)段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿著線(xiàn)段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止．若點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少，請(qǐng)直接寫(xiě)出最少時(shí)間和此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)解析式為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）此時(shí)， ．

【解析】試題分析：（1）先證明△AON∽△COB，利用相似比計(jì)算出OA=1，得到A（-1，0），然后利用交點(diǎn)式可求出拋物線(xiàn)解析式為y=-x2+x+3；

（2）先利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+3，作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，設(shè)P（x，-x2+x+3），則Q（x，-x+3），再計(jì)算出DQ=-x2+3x，根據(jù)三角形面積公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=-x2+6x，然后根據(jù)S△BCD=S△ABC得到-x2+6x=××（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）過(guò)做平行軸交拋物線(xiàn)于，過(guò)做，可證，由此，過(guò)作的垂線(xiàn)，交點(diǎn)即為點(diǎn)，可得值和點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（ ），

，

∴，

且，

∴，

，

， ， ，

∴，

∴．

設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，

將代入得，

∴拋物線(xiàn)解析式為．

（）設(shè)直線(xiàn)的解析式為，

把， 代入得，

解得，

∴直線(xiàn)的解析式為，

作軸交于，如圖1，設(shè)

，則，

，

∴，

∵，

∴，

整理得，解得， ，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

（）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則

，

，

過(guò)做平行軸交拋物線(xiàn)于，過(guò)做，

∵，

∴，

，

∴，

∴，

∴．

過(guò)作的垂線(xiàn)，交點(diǎn)即為點(diǎn)，

此時(shí)，

．