Question

探究題
如圖是我國古代數(shù)學家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱為“楊輝三角”．它的發(fā)現(xiàn)比西方要早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角”中有許多規(guī)律，如它的每一行的數(shù)字正好對應了（a+b）ⁿ（n為非負整數(shù)）的展開式中按a次冪從大到小排列的項的系數(shù)．規(guī)定任何非零數(shù)的零次冪為1，如（a+b）⁰=1．例如，
（a+b）¹=a+b展開式中的系數(shù)1、1恰好對應圖中第二行的數(shù)字；
（a+b）²=a²+2ab+b²展開式中的系數(shù)1、2、1恰好對應圖中第三行的數(shù)字；
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展開式中的系數(shù)1、3、3、1恰好對應圖中第四行的數(shù)字．
（1）請認真觀察此圖，寫出（a+b）⁴的展開式，（a+b）⁴=

a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

．
（2）類似地，請你探索并畫出（a-b）⁰，（a-b）¹，（a-b）²，（a-b）³的展開式中按a次冪從大到小排列的項的系數(shù)對應的三角形．
（3）探究解決問題：已知a+b=3，a²+b²=5，求ab的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知圖形得出即可．
（2）根據(jù)計算的結果畫出圖形即可．
（3）根據(jù)完全平方公式展開，代入求出即可．

解答：解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴，
故答案為：a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．

（2）

（3）（a+b）²=a²+b²+2ab，
∵a+b=3，a²+b²=5，
∴9=5+2ab，
∴ab=2．

點評：本題考查了對完全平方公式的應用，注意：（a+b）²=a²+2ab+b²．