Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為.連接AC，BC，DB，DC，

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時(shí)，求的值；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是軸上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)3；(3).

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

(2)作直線DE⊥軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，作CF⊥DE，垂足為F，先求出S△OAC=6，再根據(jù)S△BCD=S△AOC，得到S△BCD =，然后求出BC的解析式為，則可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為，由此可得，再根據(jù)S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得關(guān)于m的方程，解方程即可求得答案；

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖，以BD為邊時(shí)，有3種情況，由點(diǎn)D的坐標(biāo)可得點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為±，然后分點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為兩種情況分別求解；以BD為對角線時(shí)，有1種情況，此時(shí)N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可求得BM1=N1D=4，繼而求得OM1= 8，由此即可求得答案.

(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)，

∴，

解得，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；

(2)作直線DE⊥軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，作CF⊥DE，垂足為F，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，∴OA=2，

由，得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)，∴OC=6，

∴S△OAC=，

∵S△BCD=S△AOC，

∴S△BCD =，

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，

由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得，

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，

∴，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)，∴OB=4，

∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，

∴S△BCD =，

∴，

解得(舍)，，

∴的值為3；

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖，

以BD為邊時(shí)，有3種情況，

∵D點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為±，

當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N2，

此時(shí)，解得：(舍)，

∴，∴；

當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N3，N4，

此時(shí)，解得：

∴，，

∴，；

以BD為對角線時(shí)，有1種情況，此時(shí)N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合，

∵，D(3，)，

∴N1D=4，

∴BM1=N1D=4，

∴OM1=OB+BM1=8，

∴M1(8，0)，

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：.