Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD．
（1）求B的坐標；
（2）當點P運動到點（t，0）時，試用含t的式子表示點D的坐標；
（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，若存在，請求出符合條件的點P的坐標（直接寫出結果即可）

Answer 1

分析 （1）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．設直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋轉得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標．
（3）分三種情況進行討論：
①當P在x軸正半軸上時，即t＞0時；
②當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時；即-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t≤0時
③當P在x軸負半軸，D在x軸下方時，即t≤-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$時．
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值．

解答 解：（1）如圖1，

過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．
由已知得：BF=OE=2，
∴OF=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴點B的坐標是（2$\sqrt{3}$，2）．
設直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），
則有$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直線AB的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4，
（2）∵△ABD由△AOP旋轉得到，
∴△ABD≌△AOP．
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO．
∴∠DAP=∠BAO=60°．
∴△ADP是等邊三角形．
如圖2，

過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G，則BG⊥DH．
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
∴BG=BD•cos60°=t×$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{2}$．DG=BD•sin60°=$\frac{3}{2}$t．
∴OH=EG=2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t，DH=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
∴點D的坐標為（2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t，2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）．
（3）存在．
假設存在點P，在它的運動過程中，使△OPD的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
設點P為（t，0），下面分三種情況討論：
①當t＞0時，如答圖2，BD=OP=t，DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴DH=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
∵△OPD的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$t（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴t₁=$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，t₂=$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$（舍去）．
∴點P₁的坐標為（$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0）．
②∵當D在x軸上時，如圖3，

根據銳角三角函數求出BD=OP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴當-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t≤0時，如答圖1，BD=OP=-t，DG=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴GH=BF=2-（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
∵△OPD的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴-$\frac{1}{2}$t（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴t₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，t₂=-$\sqrt{3}$
∴點P₂的坐標為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），點P₃的坐標為（-$\sqrt{3}$，0）．
③當t≤-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$時，BD=OP=-t，DG=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴DH=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-2．
∵△OPD的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$（-t）（-2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴t₁=$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，t₂=$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$（舍去）．
∴點P₄的坐標為（$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0）．
綜上所述，點P的坐標分別為P₁（$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0），P₂（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），P₃（-$\sqrt{3}$，0），P₄（$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0）．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，銳角三角函數的意義，分類思想，解本題的關鍵是銳角三角函數的應用．