Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC′，連接A′C，則A′C的長(zhǎng)為4+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連結(jié)CC′，A′C交BC于O點(diǎn)，如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，則可判斷△BCC′為等邊三角形，接著利用線段垂直平分線定理的逆定理說(shuō)明A′C垂直平分B′C，則BO=$\frac{1}{2}$BC′=3，然后利用勾股定理計(jì)算出A′O，利用三角函數(shù)計(jì)算出OC，最后計(jì)算A′O+OC即可．

解答 解：連結(jié)CC′，A′C交BC于O點(diǎn)，如圖，
∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC′，
∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，
∴△BCC′為等邊三角形，
∴CB=CB′，
而A′B=A′C′，
∴A′C垂直平分B′C，
∴BO=$\frac{1}{2}$BC′=3，
在Rt△A′OB中，A′O=$\sqrt{A′{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在Rt△OBC中，∵tsin∠CBO=sin60°=$\frac{OC}{BC}$，
∴OC=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴A′C=A′O+OC=4+3$\sqrt{3}$．
故答案為4+3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是證明△BCC′為等邊三角形和A′C⊥BC′．