Question

6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在A(yíng)B邊上，AD=BD，過(guò)點(diǎn)D作射線(xiàn)DH，交BC邊于點(diǎn)M．
（1）如圖1，若∠B=30°，求證：△ACD是等邊三角形；
（2）如圖2，若AC=10，AD=13，∠CDH=∠A．
①求線(xiàn)段DM的長(zhǎng)；
②點(diǎn)P是射線(xiàn)DH上一點(diǎn)，連接AP交CD于點(diǎn)N，當(dāng)△DMN是等腰三角形時(shí)，求線(xiàn)段MP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，根據(jù)D為直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，得到CD=AD，利用等邊對(duì)等角及內(nèi)角和定理得到∠ADC=60°，利用等邊三角形的判定方法判斷即可得證；
（2）①由D為斜邊上的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半確定出AC=CD=AD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由已知角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，確定出DH與AC平行，確定出DM為三角形ABC中位線(xiàn)，利用中位線(xiàn)定理判斷即可求出DM的長(zhǎng)；
②分三種情況考慮：當(dāng)MN=DN；當(dāng)MN=DM；當(dāng)DN=DM，分別求出MP的長(zhǎng)即可．

解答 （1）證明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
由題意可得D是直角三角形斜邊A邊上的中點(diǎn)，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=60°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD為等邊三角形；
（2）解：①∵點(diǎn)D是直角三角形斜邊AB上的中點(diǎn)，
∴AC=CD=AD，
∴∠ACD=∠A，
∵∠CDH=∠A，
∴∠ACD=∠CDH，
∴DH∥AC，
∴DM為△ABC的中位線(xiàn)，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC=5；
②分三種情況考慮：
（i）當(dāng)MN=DN時(shí)，如圖1所示，
由①得：AD=CD，∠A=∠ACD=∠CDH，DM=5，
∵M(jìn)N=DN，
∴∠CDN=∠DMN=∠A=∠ACD，
∴△ADC∽△DNM，
∴$\frac{DN}{AD}$=$\frac{DM}{AC}$，即$\frac{DN}{13}$=$\frac{5}{10}$，
解得：DN=$\frac{13}{2}$=$\frac{1}{2}$CD，
∴CN=DN，
∵DH∥AC，
∴△ACN≌△PDN，
∴PD=AC=10，
∴MP=PD-DM=10-5=5；
（ii）當(dāng)MN=DM=5時(shí)，如圖2所示，則有∠MND=∠MDN=∠ACD=∠A，
∴△ADC∽△MDN，
∴$\frac{DN}{AC}$=$\frac{DM}{AD}$，即$\frac{DN}{10}$=$\frac{5}{13}$，
解得：DN=$\frac{50}{13}$，
∴CN=13-$\frac{50}{13}$=$\frac{119}{13}$，
∵△ACN∽△PDN，
∴$\frac{PD}{AC}$=$\frac{DN}{CN}$，即$\frac{PD}{10}$=$\frac{\frac{50}{13}}{\frac{119}{13}}$，
解得：PD=$\frac{500}{119}$，
則MP=DM-PD=5-$\frac{500}{119}$=$\frac{95}{119}$；
（iii）當(dāng)DN=DM時(shí)，如圖2所示，則有DN=5，CN=13-5=8，
∵△ACN∽△PDN，
∴$\frac{PD}{AC}$=$\frac{DN}{CN}$，即$\frac{PD}{10}$=$\frac{5}{8}$，
解得：PD=$\frac{25}{4}$，
則MP=PD-DM=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于三角形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．