Question

18．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0．
（1）判斷這個(gè)一元二次方程的根的情況；
（2）若等腰三角形的一邊為4，另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求k值和這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△=（2k+1）²-16（k-$\frac{1}{2}$）=4（k-$\frac{3}{2}$）²≥0，即可作出判斷；
（2）分4為等腰三角形的腰長(zhǎng)及4為等腰三角形底邊長(zhǎng)兩種情況，分別求解可得．

解答 解：（1）∵△=（2k+1）²-16（k-$\frac{1}{2}$）=4（k-$\frac{3}{2}$）²≥0，
∴當(dāng)k=$\frac{3}{2}$時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；
當(dāng)k≠$\frac{3}{2}$時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．

（2）若4為等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí)，則方程的一個(gè)根為4，
將x=4代入方程得：16-4（2k+1）+4k-2=0，解得：k=$\frac{5}{2}$，
∴該一元二次方程為x²-6x+8=0，
解得x=2或x=4，
∴此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為2+4+4=10；
若4為等腰三角形底邊長(zhǎng)時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，
∴k=$\frac{3}{2}$，
∴該一元二次方程為x²-4x+4=0，
解得：x=2，
∴此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)度為2、2、4，不能構(gòu)成三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根的判別式及三角形三邊間的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的一邊為4得出三角形的解的情況是解題的關(guān)鍵．