Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心的分分別與邊AB，AC相切于點(diǎn)D，E連接OD，已知BD=2，AD=3．求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算,切線的性質(zhì)

專題：

分析：連接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根據(jù)∠A=90°，推出矩形ADOE，進(jìn)一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出tanC=

2

3

；設(shè)⊙O與BC交于M、N兩點(diǎn)，由四邊形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根據(jù)tanC=

2

3

，OE=3，求出EC=

9

2

，根據(jù)S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE，即可求出陰影部分的面積．

解答：解：如圖，連接OE，設(shè)⊙O與BC交于M、N兩點(diǎn)，
∵AB、AC分別切⊙O于D、E兩點(diǎn)，
∴AD⊥OD，AE⊥OE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四邊形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=3，
∴∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，tan∠BOD=

BD

OD

，
∴tanC=

2

3

．
∵四邊形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵在Rt△EOC中，tanC=

2

3

=

OE

EC

，OE=3，
∴EC=

9

2

，
∴S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE=

1

4

S_圓O=

1

4

π×3²=

9

4

π，
∴S_陰影=S_△BOD+S_△COE-（S_扇形DOM+S_扇形EON）=

39

4

，
答：圖中兩部分陰影面積的和為

39

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查對正方形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的定義，扇形的面積，切線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．