Question

17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，P是斜邊AB上的一點，以CP為斜邊作等腰Rt△CPE，連接AE交BC所在直線于D．求證：AE=ED．

Answer 1

分析 先過點E作EF⊥BD于點F，過點C作CG⊥AB于G，得到∠CGP=∠EFC=90°，再根據(jù)∠GPC=∠FCE，判定△GPC∽△FCE，得出CG=$\sqrt{2}$EF，最后根據(jù)△ACG是等腰直角三角形，得到AC=$\sqrt{2}$CG=2EF，即可得到E是AD的中點．

解答 解：如圖所示，過點E作EF⊥BD于點F，過點C作CG⊥AB于G，則∠CGP=∠EFC=90°，
∵△CPE，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠PCE=∠B=45°，
∴∠BCP+∠GPC=135°，∠BCP+∠FCE=135°，
∴∠GPC=∠FCE，
∴△GPC∽△FCE，
∴EF：CG=CE：PC=1：$\sqrt{2}$，
即CG=$\sqrt{2}$EF，
又∵△ACG是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$CG=2EF，
∵EF∥AC，
∴$\frac{DE}{DA}$=$\frac{EF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=ED．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，運用相似三角形的對應邊成比例進行推導．解題時注意：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應線段成比例．