Question

14．觀察下列等式：①$\frac{1}{1×2×3}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$；②$\frac{1}{2×3×4}$=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{3}$；③$\frac{1}{3×4×5}$=$\frac{4}{15}$-$\frac{1}{4}$，…按照此規(guī)律，解決下列問題：
（1）完成第④個(gè)等式；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明其正確性．

Answer 1

分析 （1）觀察給定①②③三個(gè)等式，找出等式中各分式之間的關(guān)系，利用該關(guān)系寫出第4個(gè)等式；
（2）結(jié)合（1）找出規(guī)律“第n個(gè)等式為：$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+1}{n（n+2）}-\frac{1}{n+1}$”，利用通分合并同類項(xiàng)等方式來證明結(jié)論成立．

解答 解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：①1×2×3中，1×3=3，剩個(gè)2；②2×3×4中，2×4=8，剩個(gè)3；③3×4×5中，3×5=15，剩下個(gè)4，
∴④應(yīng)該為：$\frac{1}{4×5×6}$=$\frac{5}{4×6}-\frac{1}{5}$=$\frac{5}{24}-\frac{1}{5}$．
（2）結(jié)合（1）故猜想：
第n個(gè)等式為：$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+1}{n（n+2）}-\frac{1}{n+1}$．
證明：等式右邊=$\frac{n+1}{n（n+2）}-\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+1）（n+2）}-\frac{n（n+2）}{n（n+1）（n+2）}$，
=$\frac{{n}^{2}+2n+1-{n}^{2}-2n}{n（n+1）（n+2）}$，
=$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=左邊，
∴等式成立，即猜想正確

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中數(shù)的變化類依據(jù)分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）分析等式中各分式間的關(guān)系；（2）找出規(guī)律“第n個(gè)等式為$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+1}{n（n+2）}-\frac{1}{n+1}$”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)給定等式的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．