Question

6．E、F為?ABCD的對(duì)角線DB上三等分點(diǎn)，連AE并延長交DC于P，連PF并延長交AB于Q，如圖①
（1）在備用圖中，畫出滿足上述條件的圖形，記為圖②，試用刻度尺在圖①、②中量得AQ、BQ的長度，估計(jì)AQ、BQ間的關(guān)系，并填入下表長度單位：cm

	AQ長度	BQ長度	AQ、BQ間的關(guān)系
圖①中	2.7	0.9	AQ=3BQ
圖②中	3.3	1.1	AQ=3BQ

由上表可猜測AQ、BQ間的關(guān)系是AQ=3BQ
（2）上述（1）中的猜測AQ、BQ間的關(guān)系成立嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）先完成圖②，然后通過實(shí)際測量得到AQ和BQ的長，再判斷它們的數(shù)量關(guān)系；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DC∥AB，則可判斷△DPE∽△BAE，利用相似比可得AB=2DP，同理可得BQ=$\frac{1}{2}$DP，則AB=4BQ，所以AQ=3BQ．

解答 解：（1）圖①中，AQ=2.7，BQ=0.9，即AQ=3BQ；
如圖②，AQ=3.3，BQ=1.1，即AQ=3BQ；
由上表可猜測AQ、BQ間的關(guān)系是AQ=3BQ．
故答案為：2.7，0.9，AQ=3BQ；3.3，1.1，AQ=3BQ；AQ=3BQ；
（2）成立．理由如下：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴△DPE∽△BAE，
∴$\frac{DP}{AB}$=$\frac{DE}{BE}$，
∵E F為BD三等分點(diǎn)，
∴BE=2DE，
∴$\frac{DP}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即AB=2DP，
同理可得△DPF∽△BQF，
∴$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{DF}{BF}$=2，
∴BQ=$\frac{1}{2}$DP，
∴AB=4BQ，
∴AQ=3BQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了平行四邊形的性質(zhì)和通過實(shí)際操作探索問題的結(jié)論．