Question

已知拋物線C1：y1=

1

2

x2-x+1，點F（1，1）．
（I）求拋物線C₁的頂點坐標；
（II）①若拋物線C₁與y軸的交點為A，連接AF，并延長交拋物線C₁于點B，求證：

1

AF

+

1

BF

=2．
②取拋物線C₁上任意一點P（x_P，y_P）（0＜x_P＜1），連接PF，并延長交拋物線C₁于Q（x_Q，y_Q）．試判斷

1

PF

+

1

QF

=2是否成立？請說明理由；
（III）將拋物線C₁作適當?shù)钠揭�，得拋物線C2：y2=

1

2

(x-h)2，若2＜x≤m時，y₂≤x恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：（I）將拋物線C₁：y₁=

1

2

x²-x+1的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，即可求得拋物線C₁的頂點坐標；
（II）①由A（0，1），F(xiàn)（1，1），可得AB∥x軸，即可求得AF與BF的長，則問題得解；
②過點P（x_p，y_p）作PM⊥AB于點M，即可求得PF=y_p，同理QF=y_Q，然后由△PMF∽△QNF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；
（III）令y₃=x，設(shè)其圖象與拋物線C₂交點的橫坐標為x₀，x₀′，且x₀＜x₀′，觀察圖象，隨著拋物線C₂向右不斷平移，x₀，x₀′的值不斷增大，當滿足2＜x≤m，y₂≤x恒成立時，m的最大值在x₀′處取得．可得：當x₀=2時，所對應的x₀′即為m的最大值．

解答：解：（I）∵y₁=

1

2

x²-x+1=

1

2

（x-1）²+

1

2

，
∴拋物線C₁的頂點坐標為（1，

1

2

）；

（II）①證明：根據(jù)題意得：點A（0，1），
∵F（1，1），
∴AB∥x軸，得AF=BF=1，
∴

1

AF

+

1

BF

=2；

②

1

PF

+

1

QF

=2成立．
理由：
如圖，過點P（x_p，y_p）作PM⊥AB于點M，
則FM=1-x_p，PM=1-y_p，（0＜x_p＜1），
∴Rt△PMF中，由勾股定理，
得PF²=FM²+PM²=（1-x_p）²+（1-y_p）²，
又點P（x_p，y_p）在拋物線C₁上，
得y_p=

1

2

（x_p-1）²+

1

2

，即（x_p-1）²=2y_p-1，
∴PF²=2y_p-1+（1-y_p）²=y_p²，
即PF=y_p，
過點Q（x_Q，y_Q）作QN⊥AB，與AB的延長線交于點N，
同理可得：QF=y_Q，
∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF，
∴

PF

QF

=

PM

QN

，
這里PM=1-y_p=1-PF，QN=y_Q-1=QF-1，
∴

PF

QF

=

1-PF

QF-1

，
即

1

PF

+

1

QF

=2；

（III）令y₃=x，
設(shè)其圖象與拋物線C₂交點的橫坐標為x₀，x₀′，且x₀＜x₀′，
∵拋物線C₂可以看作是拋物線y=

1

2

x²左右平移得到的，
觀察圖象，隨著拋物線C₂向右不斷平移，x₀，x₀′的值不斷增大，
∴當滿足2＜x≤m，y₂≤x恒成立時，m的最大值在x₀′處取得．
可得：當x₀=2時，所對應的x₀′即為m的最大值．
于是，將x₀=2代入

1

2

（x-h）²=x，
有

1

2

（2-h）²=2，
解得：h=4或h=0（舍去），
∴y₂=

1

2

（x-4）²．
此時，由y₂=y₃，得

1

2

（x-4）²=x，
解得：x₀=2，x₀′=8，
∴m的最大值為8．

點評：此題考查了二次函數(shù)的一般式與頂點式的轉(zhuǎn)化，相似三角形的判定與性質(zhì)以及最大值等問題．此題綜合性很強，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．