Question

如圖，已知拋物線y=a（x-1）（x-3）與x軸從左至右分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且拋物線過(guò)點(diǎn)M（4，3），連接AC、BC．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求sin∠ACB的值；
（3）在線段BC上是否存在一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QP平行于y軸交拋物線于點(diǎn)P，使線段PQ取得最大值？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和PQ的最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，過(guò)點(diǎn)M的直線y=kx+b與此新圖象只有三個(gè)交點(diǎn)，求b值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）把點(diǎn)M（4，3）代入拋物線y=a（x-1）（x-3），解得a=1，即可得出二次函數(shù)解析式，
（2）利用二次函數(shù)解析式為y=x²-4x+3，得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，得出AB=2，過(guò)A作AE⊥BC于E，求出OB=OC，可得出∠OBC=45°，求出AE，AC，即可得出sin∠ACB的值，
（3）利用B（3，0），C（0，3）得出y_BC=-x+3，再結(jié)合二次函數(shù)解析式為y=x²-4x+3，QP平行于y軸交拋物線于點(diǎn)P，可求出PQ=-（x-

3

2

）²+

9

4

，即可得出當(dāng)x=

3

2

時(shí)，PQ的最大值和Q的坐標(biāo)，
（4）分兩種情況①直線MA②是過(guò)點(diǎn)M的直線與新拋物線相切時(shí)，分別求出b的值即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)M（4，3）代入拋物線y=a（x-1）（x-3），得3=a（4-1）（4-3），解得a=1，
所以二次函數(shù)解析式為y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3，
（2）如圖1，

∵二次函數(shù)解析式為y=x²-4x+3，
令x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
∴點(diǎn)A（1，0），B（3，0），AB=2，
過(guò)A作AE⊥BC于E，
∵二次函數(shù)解析式為y=x²-4x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴AE=

2

，
∵AC=

OA2+OC2

=

10

，
∴sin∠ACB=

AE

AC

=

2

10

=

5

5

，
（3）∵B（3，0），C（0，3）設(shè)BC所在的直線為y=kx+b，代入得y_BC=-x+3，
∵二次函數(shù)解析式為y=x²-4x+3，QP平行于y軸交拋物線于點(diǎn)P，
∴PQ=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，PQ的最大值為

9

4

，此時(shí)Q（

3

2

，

3

2

），
（4）如圖2，

①直線MA與拋物線有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線MA的解析式為y=kx+b，把A（1，0），M（4，3），可得
y=x-1，所以b=-1，
②新拋物線頂點(diǎn)為（2，1），解析式為y=-（x-2）²+1=-x²+4x-3，點(diǎn)M（4，3）代入直線y=kx+b，得b=3-4k，
聯(lián)立

y=kx+3-4k y=-x2+4x-3

，得x²+（k-4）x+6-4k=0，由△=0，k²+8k-8=0，解得得k=-4±2

6

（舍負(fù)），b=3-4k=19-8

6

，
綜上所述，b=-1或b=19-8

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題，難點(diǎn)是第（4）個(gè)問(wèn)題，要分兩種情況解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形找出直線的位置．