Question

如圖，O為Rt△ABC的直角邊AC上一點，以O為圓心OC為半徑作⊙O切AB于點D，交邊AC于點E．
（1）若△BDC為等邊三角形，試求

AE

AD

的值；
（2）若AC=4，BC=3，求CD的長．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：（1）根據等邊三角形的性質得出∠ABC=60°，從而求得∠A=30°，根據30°角所對直角邊等于斜邊的一半得出BC=

1

2

AB，根據切線的性質得出BC=BD，從而求得AD=BC，設BC=x，則AB=2x，AC=

3

x，根據AD²=AE•AC，即可求得AE═

4 3

3

x，進而即可求得

AE

AD

的值；
（2）連接CD交OB于F，根據勾股定理求得AB=5，根據切線的性質得出BD=BC=3，得出AD=2，根據AD²=AE•AC，求得AE=1，從而求得直徑EC，得出半徑OC=

3

2

再根據勾股定理求得OB，然后根據三角形相似求得CF，即可求得CD的長．

解答：解：（1）∵△BDC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB，
∵AC⊥BC，
∴BC是⊙O切線，
∵AB是⊙O切線，
∴BC=BD，
∴AD=BC，
設BC=x，則AB=2x，AC=

3

x，
∵AD²=AE•AC，
∴（2x）²=AE•

3

x，
解得AE=

4 3

3

x，
∴

AE

AD

=

4 3 3 x

x

=

4 3

3

；

（2）連接CD交OB于F，．
∵在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵BD=BC=3，
∴AD=2，
∵AB是⊙O的切線，
∴AD²=AE•AC，
∴AE=

22

4

=1，
∴EC=4-1=3，
∴OC=

3

2

，
∵在Rt△OBC中，OC=

3

2

，BC=3，
∴OB=

OC2+BC2

=

3 5

2

，
∵OB垂直平分CD，
∴∠OFC=∠OCB=90°，
∵∠COF=∠BOC，
∴△OCF∽△OBC，
∵

CF

BC

=

OC

OB

∴CF=

3 5

5

∴CD=2CF=

6 5

5

．

點評：本題考查了切線的性質，等邊三角形的性質，勾股定理的應用，直角三角形的性質等，熟練掌握切線的性質是本題的關鍵．