Question

6．如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC=$\sqrt{5}$，等腰直角△CDP中，且PB=$\sqrt{2}$．∠CPB=135°，將△CDP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，求BD的長．

Answer 1

分析 根據(jù)SAS證明△ACD≌△BCP，得出AD=BP=$\sqrt{2}$，∠ADC=∠BPC=135°．再分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1，證明A、D、P三點(diǎn)共線，△ABP是直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理求解；②如圖2，證明B、P、D三點(diǎn)共線，△ABD是直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理求解．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP．
在△ACD與△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCP}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=BP=$\sqrt{2}$，∠ADC=∠BPC=135°．
①如圖1，∵△CDP是等腰直角三角形，
∴∠CPD=∠CDP=45°，
∴∠APB=∠CPB-∠CPD=90°，
∠CDP+∠ADC=45°+135°=180°，
∴A、D、P三點(diǎn)共線，△ABP是直角三角形．
∵等腰直角△ABC中，AC=BC=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{10}$，
∵△ABP中，∠APB=90°，PB=$\sqrt{2}$，
∴AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$，
∴DP=AP-AD=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{P}^{2}+D{P}^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2；
②如圖2，同（1）可得B、P、D三點(diǎn)共線，△ABD是直角三角形，
則BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$．
綜上所述，BD的長為2或2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，證明三點(diǎn)共線以及正確分類是解題的關(guān)鍵．