Question

20．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當(dāng)以A、C、D為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標(biāo)及此時三角形的面積；
（3）以AB為直徑作⊙M，直線經(jīng)過點E（-1，-5），并且與⊙M相切，求該直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）只需運用待定系數(shù)法就可解決問題；
（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，如圖2，可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則點G的橫坐標(biāo)也為m，從而可以用m的代數(shù)式表示出DG，然后用割補法得到△ADC的面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，運用二次函數(shù)的最值性就可解決問題；
（3）設(shè)過點E的直線與⊙M相切于點F，與x軸交于點N，連接MF，如圖3，根據(jù)切線的性質(zhì)可得MF⊥EN．易得M的坐標(biāo)、ME、MF、EF的長，易證△MEF∽△NEM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MN，從而得到點N的坐標(biāo)，然后運用待定系數(shù)法就可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，
由題可得：
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，如圖2．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+t=0}\\{t=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{t=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2．
設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則點G的橫坐標(biāo)也為m，
∴DH=-$\frac{1}{4}$^_m2-$\frac{1}{2}$m+2，GH=$\frac{1}{2}$m+2，
∴DG=-$\frac{1}{4}$^_m2-$\frac{1}{2}$m+2-$\frac{1}{2}$m-2=-$\frac{1}{4}$^_m2-m，
∴S_△ADC=S_△ADG+S_△CDG
=$\frac{1}{2}$DG•AH+$\frac{1}{2}$DG•OH=$\frac{1}{2}$DG•AO=2DG
=-$\frac{1}{2}$m²-2m=-$\frac{1}{2}$（m²+4m）
=-$\frac{1}{2}$（m²+4m+4-4）
=-$\frac{1}{2}$[（m+2）²-4]
=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2．
∴當(dāng)m=-2時，S_△ADC取到最大值2．
此時y_D=-$\frac{1}{4}$×（-2）²-$\frac{1}{2}$×（-2）+2=2，
即點D的坐標(biāo)為（-2，2）；

（3）設(shè)過點E的直線與⊙M相切于點F，與x軸交于點N，連接MF，如圖3，
則有MF⊥EN．
∵A（-4，0），B（2，0），
∴AB=6，MF=MB=MA=3，
∴點M的坐標(biāo)為（-4+3，0）即M（-1，0）．
∵E（-1，-5），∴ME=5，∠EMN=90°．
在Rt△MFE中，EF=$\sqrt{M{E}^{2}-M{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵∠MEF=∠NEM，∠MFE=∠EMN=90°，
∴△MEF∽△NEM，
∴$\frac{MF}{NM}$=$\frac{EF}{EM}$，
∴$\frac{3}{NM}$=$\frac{4}{5}$，
∴NM=$\frac{15}{4}$，
∴點N的坐標(biāo)為（-1+$\frac{15}{4}$，0）即（$\frac{11}{4}$，0）或（-1-$\frac{15}{4}$，0）即（-$\frac{19}{4}$，0）．
設(shè)直線EN的解析式為y=px+q．
①當(dāng)點N的坐標(biāo)為（$\frac{11}{4}$，0）時，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{11p}{4}+q=0}\\{-p+q=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{4}{3}}\\{q=-\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線EN的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{11}{3}$．
②當(dāng)點N的坐標(biāo)為（-$\frac{19}{4}$，0）時，
同理可得：直線EN的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{19}{3}$．
綜上所述：所求直線的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{11}{3}$或y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{19}{3}$．

點評 本題主要考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、運用割補法求面積，二次函數(shù)的最值性、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，當(dāng)直接求一個圖形面積比較困難時，通�？煽紤]采用割補法，另外，過圓外一點作圓的切線有兩條，不能遺漏．