Question

6．如圖，AB∥CD，E點(diǎn)在BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求證：
（1）EB=EC；
（2）AB+CD=AD．（用兩種方法）

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AE，DC交于M，由平行線的性質(zhì)得出∠DAB+∠ADC=180°，∠BAE=∠CME，由ASA證明△ADE≌△MDE，得出AE=ME，再由ASA證明△ABE≌△MCE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）方法一：由全等三角形的性質(zhì)得出AB=CM，證出∠CME=∠DAE，得出AD=DM，即可得出結(jié)論；
方法二：延長(zhǎng)DE與AB的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)F，由AAS證明△DCE≌△FBE，得出BF=DC，DE=EF，證出AD=AF，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）延長(zhǎng)AE，DC交于M，如圖1所示：
∵AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC=180°，∠BAE=∠CME，
∵AE、DE分別平分∠BAD、∠ADC，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90゜=∠DEM，
在△ADE和△MDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠MDE}\\{DE=DE}\\{∠AED=∠DEM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MDE（ASA），
∴AE=ME，
在△ABE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠MEC}\\{AE=ME}\\{∠BAE=∠CME}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴EB=EC；
（2）方法一：由（1）知：△ABE≌△MCE，
∴AB=CM，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠CME=∠DAE，
∴AD=DM，
∵DM=CM+CD=AB+CD，
∴AB+CD=AD；
方法二：延長(zhǎng)DE與AB的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)F，如圖2所示：
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠BFE由（1）知：BE=CE，
在△DCE和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠BFE}\\{∠DEC=∠FEB}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△FBE（AAS），
∴BF=DC，DE=EF，
∴AF=AB+BF=AB+CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
∴AB+CD=AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)論．