Question

11．如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜90°），使點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接AD，BE．

（1）①依題意補(bǔ)全圖2；
②求證：AD=BE，且AD⊥BE；
③作CM⊥DE，垂足為M，請用等式表示出線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖3，正方形ABCD邊長為$\sqrt{5}$，若點(diǎn)P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特性畫出圖象；②由∠ACD、∠BCE均與∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，結(jié)合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，從而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即證出AD⊥BE；③依照題意畫出圖形，根據(jù)組合圖形的面積為兩個(gè)三角形的面積和可用AE，BE去表示CM；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，比照（1）③的結(jié)論以及利用全等三角形的性質(zhì)，套入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①依照題意補(bǔ)全圖2，如下圖（一）所示．

②證明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ADC和△BEC中，有$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°-∠CDE=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，
∴AD⊥BE．
③依照題意畫出圖形，如圖（二）所示．

∵△CDE為等腰直角三角形，
∴DE=2CM．
又∵AD=BE，
∴AE-BE=2CM．
∵S_△ABC+S_△EBC=S_△CAE+S_△EAB，
即$\frac{1}{2}$AC•BC+$\frac{1}{2}$BE•CM=$\frac{1}{2}$AE（CM+BE），
∴AC²-AE•BE=CM（AE-BE），
∴CM=$\sqrt{\frac{A{C}^{2}-AE•BE}{2}}$．
（2）依照題意畫出圖形（三）．

其中AB=$\sqrt{5}$，DP=1，BD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{10}$，
由勾股定理得：BP=$\sqrt{B{D}^{2}-D{P}^{2}}$=3．
結(jié)合（1）③的結(jié)論可知：
AM₁=$\sqrt{\frac{A{B}^{2}-BP•DP}{2}}$=$\sqrt{\frac{5-3×1}{2}}$=1；
∵∠ABM₁+∠CBM₁=90°，∠ABM₁+∠BAM₁=90°，
∴∠CBM₁=∠BAM₁．
∵∠ABM₂=∠CBM₁，
∴∠ABM₂=∠CBM₁．
在△ABM₁和△BAM₂中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AB{M}_{2}=∠CB{M}_{1}}\\{∠A{M}_{1}B=∠B{M}_{2}A=90°}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABM₁≌△BAM₂（AAS），
∴AM₂=BM₁=$\sqrt{A{B}^{2}-A{{M}_{1}}^{2}}$=2．
故點(diǎn)A到BP的距離為1或2．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的面積公式、角的計(jì)算以及勾股定理，解題的關(guān)鍵：（1）①結(jié)合題意畫出圖形；②找出△ADC≌△BEC；③利用分割法求組合圖形的面積；（2）利用類比法借助（1）③的算式求出結(jié)論．本題屬于中檔題，（1）①②難度不大；③難度不小，此處用到了分割組合圖形求面積來找等式，該小問處切記線段AC當(dāng)成已知量；（2）利用類比的方法套入（1）③的算式即可．解決該題型題目時(shí)，畫出圖形，注意數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．