Question

如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形ABEF．現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為a．
（1）當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的值；
（2）如圖2，G為BC中點(diǎn)，且0°＜a＜90°，求證：GD′=E′D；
（3）小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值；若不能說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，則∠CD′E=30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠α=30°；
（2）由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，則∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△DCE′，
則GD′=E′D；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)�等，�?dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出α=135°，當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算得到α=315°．
解答：（1）解：∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，
∴CD′=CD=2，
在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；

（2）證明：∵G為BC中點(diǎn)，
∴CG=1，
∴CG=CE，
∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△DCE′中
，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；

（3）解：能．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，
∵CD=CD′，
∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，
當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時(shí)，△BCD′≌△DCD′，
當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，α==135°，
當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，α=360°-=315°，
即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時(shí)，△BCD′與△DCD′全等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形、矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．