Question

13．如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-x+b分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y=$\frac{3}{x}$交于點(diǎn)C（1，m）．
（1）求m的值和一次函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)結(jié)OC，求∠OCA的正切值；
（3）在直線上找一點(diǎn)P，如果△OBC與△OAP相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）如圖1中，作OD⊥AB于D，連接OC．在Rt△ODC中，根據(jù)tan∠OCA=$\frac{OD}{CD}$，求出OD，CD即可解決問題．
（3）如圖2中，分兩種情形①當(dāng)$\frac{OA}{BO}$=$\frac{A{P}_{1}}{CB}$時，△OAP₁∽△OBC，②當(dāng)$\frac{OA}{BC}$=$\frac{A{P}_{2}}{OB}$時，△OAP₂∽△CBO，分別列出方程求出AP即可解決問題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C（1，m）在雙曲線y=$\frac{3}{x}$上，
∴m=$\frac{3}{1}$=3，
把點(diǎn)C（1，3）代入y=-x+b得到b=4，
∴m=3，一次函數(shù)的解析式為y=-x+4．

（2）如圖1中，作OD⊥AB于D，連接OC．

∵A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，AB=4$\sqrt{2}$，
∵OD⊥AB，
∴DB=DA=OD=2$\sqrt{2}$，
∵C（1，3），
∴BC=$\sqrt{2}$，
∴CD=BD-BC=$\sqrt{2}$，
∴tan∠OCA=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2．

（3）如圖2中，

∵∠OBC=∠OAB=45°，
∴當(dāng)$\frac{OA}{BO}$=$\frac{A{P}_{1}}{CB}$時，△OAP₁∽△OBC，
∴$\frac{4}{4}$=$\frac{A{P}_{1}}{\sqrt{2}}$，
∴AP₁=$\sqrt{2}$，
∴P₁（3，1）．
當(dāng)$\frac{OA}{BC}$=$\frac{A{P}_{2}}{OB}$時，△OAP₂∽△CBO，
∴$\frac{4}{\sqrt{2}}$=$\frac{A{P}_{2}}{4}$，
∴AP₂=8$\sqrt{2}$，
∴P₂（-4，8），
綜上所述，當(dāng)△OBC與△OAP相似時，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）或（-4，8）．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．