Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCD（O為原點(diǎn)），點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）；將BCD沿BD折疊（D點(diǎn)在OC邊上），使C點(diǎn)落在OA邊的E點(diǎn)上，并將BAE沿BE折疊，恰好使點(diǎn)A落在BD的點(diǎn)F上。

（1）直接寫出∠ABE、∠CBD的度數(shù)，并求折痕BD所在直線的函數(shù)解析式；
（2）過F點(diǎn)作FG⊥x軸，垂足為G，F(xiàn)G的中點(diǎn)為H，若拋物線經(jīng)過B、H、D三點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）若點(diǎn)P是矩形內(nèi)部的點(diǎn)，且點(diǎn)P在（2）中的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不含B、D點(diǎn)），過點(diǎn)P作PN⊥BC分別交BC和BD于點(diǎn)N、M，設(shè)h=PM-MN，試求出h與P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式，并畫出該函數(shù)的簡圖，分別寫出使PM<MN、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∠ABE=∠CBD=30°；
在△ABE中，AB=6，BC=BE=，CD=BC·tan30°=4，
∴OD=OC-CD=2，
∴B（，6） D（0，2），
設(shè)BD所在直線的函數(shù)解析式是y=kx+b，
，∴，
∴ 所以BD所在直線的函數(shù)解析式是；
（2）∵EF=EA=ABtan30°=，∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°，
又∵FG⊥OA，
∴FG=EFsin60°=3，GE=EFcos60°=，OG=OA-AE-GE=，
又H為FG中點(diǎn)
∴H（，），
∵B（4，6）、D（0，2）、H（，）在拋物線圖象上，
∴，∴，
∴拋物線的解析式是；
（3）∵M(jìn)P=，
MN=6-，
h=MP-MN=，
由得，
該函數(shù)簡圖“略”
當(dāng)0<x<，h<0，即HP>MN ，
當(dāng)x=時(shí)，h=0，即HP=MN，
當(dāng)<x<時(shí)，h>0，即HP>MN。