Question

如圖，直線AB過點A(3m，0)，B(0，n)，(m＞0，n＞0)，反比例函數(shù)y＝的圖像與直線AB交于C、D兩點，P為雙曲線y＝上任意一點，過P點作PQ⊥x軸于Q，PR⊥y軸于R．(1)用含m、n的代數(shù)式表示△AOB的面積S；(2)若m＋n＝10，n為何值時S最大？并求出這個最大值；(3)若BD＝DC＝CA，求出C、D兩點坐標；(4)在(3)的條件下，過O、D、C三點作拋物線，當該拋物線的對稱軸為x＝時，矩形PROQ的面積是多少？

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)S＝mn． 　　(2)由m＋n＝10，S＝(10－n)n＝－n2＋15n， 　　當n＝－＝5時，S最大＝． 　　(3)過C、D作x軸的垂線，垂足分別為E、F． 　　由BD＝DC＝CA，則OF＝EF＝EA． 　　又∵OA＝3m，∴OE＝2m，OF＝m． 　　可設C(2m，y1)，D(m，y2)，又∵C、D在反比例函數(shù)y＝的圖像上， 　　∴C(2m，)，D(m，1) 　　(4)設過O、D、C三點的拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c， 　　把O、D、C三點坐標代入解析式，得解得 　　該拋物線的對稱軸為x＝－＝－＝＝， 　　∴m＝1，P點在反比例函數(shù)圖像上，∴S矩形OQPR＝m＝1． 　　分析：(1)由于OA＝3m，OB＝n，則S＝OA·OB＝·3m·n＝mn． 　　(2)只要把m＋n＝10代入S＝mn，就可以討論n與S的關系． 　　(3)當BD＝DC＝CA時，D、C分別是BA上的三等分點，且C、D在y＝上，則可以利用字母m，寫出C、D的坐標． 　　(4)若過O、D、C三點拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，則利用O、D、C的坐標可以求出式子中的a、b、c，正因為D、C的坐標中含有m這一字母，a、b、c的值也是由m表示的，這里再通過“對稱軸為這一條件”可以求出m的值，進而求出矩形OQPR的面積．