Question

（2013•咸寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OC和AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．
（1）試判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）AB=6

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OAD，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）求出∠AEC=90°，根據(jù)垂徑定理求出AE，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出即可．

解答：解：（1）直線AD與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OA．
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠D=90°，
即OA⊥AD，
∵OA為半徑，
∴AD是⊙O的切線．

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠ACO=60°，AC=OA，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE=90°，
∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×6

3

=3

3

，
在Rt△ACE中，sin∠ACE=

AE

AC

=sin 60°，
∴AC=6，
∴⊙O的半徑為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，含30度角的直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．