Question

已知等腰△ABC的腰AB=AC=10，BC=12，若以BC為中點為圓心做圓，當半徑r滿足什么條件，該圓與兩腰所在直線
（1）相離？
（2）相切？
（3）相交？

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計算題

分析：過BC的中點0作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，連接AO，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AO⊥BC，AO平分∠BAC，在Rt△AOB中利用勾股定理計算出AO=8，再利用面積法計算出OD=

24

5

，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得OE=OD=

24

5

，然后根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的判定方法求解．

解答：解：過BC的中點0作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，連接AO，如圖，
∵AB=AC，點O為BC的中點，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
在Rt△AOB中，∵AB=10，OB=

1

2

BC=6，
∴AO=

AB2-OB2

=8，
∵

1

2

•OD•AB=

1

2

AO•OB，
∴OD=

6×8

10

=

24

5

，
而AO為∠BAC的平分線，
∴OE=OD=

24

5

，
（1）當0＜r＜

24

5

時，該圓與兩腰所在直線相離；
（2）當r=

24

5

時，該圓與兩腰所在直線相切；
（3）當r＞

24

5

時，該圓與兩腰所在直線相交．

點評：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．