Question

如圖，菱形ABCD中，BE⊥AD于點(diǎn)E，AC交BE于點(diǎn)F，連接DF，AD=5，BE=4．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A-D-C方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）請求出線段EF的長度；
（2）設(shè)PF²=y，請直接寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，若∠FPD與∠BCD互余，求此時(shí)直線BP與直線AC所夾銳角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由菱形的“四條邊相等，對邊互相平行的性質(zhì)以及勾股定理”求得AE=3．然后根據(jù)相似三角形（△AEF∽△CBF）的對應(yīng)邊成比例列出比例式

AE

BC

=

EF

BF

，即

3

5

=

EF

4-EF

，易求EF的長度；
（2）分P在AD上和P在CD上兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，在直角△EFP中利用勾股定理即可求得；當(dāng)5＜t≤10時(shí)，作CD的垂線BM，在直角△BMP中，利用勾股定理即可求得函數(shù)的解析式；
（3）若∠BCD+∠FPD=90°，易證△ABF≌△ADF，則∠3=∠ABE=∠FPD，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)可以證得△APG∽△CBG，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得AG的長，進(jìn)而得到OG的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解；當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，易證△ABG∽△CPG，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊相等即可求得CG的長，進(jìn)而得到OG的長，然后利用三角函數(shù)的定義即可求解．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD=5，AD∥BC，AB∥CD．
∵BE⊥AD，
∴在Rt△ABE中，AE=

AB2-BE2

=

52-42

=3．
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴

AE

BC

=

EF

BF

，即

3 2

5 2

=

EF

4-EF

，
∴EF=

3

2

；

（2）當(dāng)0≤t≤5時(shí)，y=（t-3）²+

9

4

．
當(dāng)5＜t≤10時(shí)，y=（t-5）²+

25

4

．

（3）連接BP交AC于點(diǎn)G，連接BD交AC于點(diǎn)O．
在Rt△BED中，BD=

DE2+BE2

=2

5

，
∵菱形ABCD，
∴∠BCD=∠BAD，∠1=∠2，BD⊥AC．BO=OD=

5

，AO=CO，
∴Rt△AOD中，AO=

AD2-OD2

=2

5

=CO．
∴Rt△ABE中，∠ABE+∠BAD=90°，
∴若∠BCD+∠FPD=90°，則∠FPD=∠ABE，
在△ABF和△ADF中，

AB=AD ∠DAF=∠BAF AF=AF

∴△ABF≌△ADF，
∴∠3=∠ABE=∠FPD，
當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，∵∠3=∠FPD，
∴PF=DF
∵EF⊥PD，
∴PE=DE=2，
∵AD∥BC
∴△APG∽△CBG，
∴

AP

CB

=

AG

CG

，即

1

5

=

AG

4 5 -AG

，
∴AG=

2 5

3

，
∴OG=

4 5

3

，
∴Rt△BOG中，tan∠BGO=

OB

OG

=

5

4 5 3

=

3

4

，
∵菱形ABCD中，BE⊥AD，∠ACB=∠ACD，
∴BE⊥BC，即∠FBC=90°，
在△BCF和△DCF中，

DC=BC ∠DCF=∠BCF CF=CF

，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠FED=∠FDP=90°
又∵當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，∠3=∠FPD，
∴△FED∽△FDP，
∴

FE

FD

=

ED

DP

，即

3

5

=

2

DP

，
∴DP=

10

3

，
∴CP=

5

3

，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CPG，
∴

CP

AB

=

CG

AG

，即

5 3

5

=

CG

4 5 -CG

，
∴CG=

5

=OG，
∴Rt△BOG中，tan∠BGO=

OB

OG

=

5

5

=1．

點(diǎn)評：本題考查了菱形、三角形全等、三角形相似的綜合應(yīng)用，正確證得三角形相似是關(guān)鍵．