Question

16．問(wèn)題：如圖（1），點(diǎn)F、E分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BF、EF、DE之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）【發(fā)現(xiàn)證明】
如圖1，小聰把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BF+ED．請(qǐng)完成下列填空．
解：由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．
因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°∵∠1=∠2∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠EAF．
又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF∴GF=EF，故DE+BF=EF
（2）【類比延伸】
如圖（2），四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點(diǎn)F、E分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD關(guān)系時(shí)，仍有EF=BF+DE．
（3）【探究應(yīng)用】
如圖（3），在某公園的同一水平面上，通道AB、AC、BC、AN、AM構(gòu)成了等腰Rt△ABC，已知∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=$\sqrt{5}$米，CN=3$\sqrt{2}$米，求通道MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定定理證明△GAF≌△EAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）把△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證明△AFE≌△AGE即可；
（3）把△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接NG，根據(jù)勾股定理得到NG²=NC²+CG²，由（1）得△ANM≌△ANG，得到NG=NM，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠EAF，
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，故DE+BF=EF；
（2）當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD關(guān)系時(shí)，仍有EF=BF+DE．
如圖2，∵AB=AD，
∴把△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∴∠BAF=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠EAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠EDG=180°，點(diǎn)E、D、G共線，
在△AFE和△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AG}\\{∠FAE=∠GAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AGE，
∴GE=EF，即EF=BF+DE；
（3）如圖3，把△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接NG，
則∠ACG=∠ABM，
∴∠NCG=90°，
∴NG²=NC²+CG²，
由（1）得△ANM≌△ANG，
∴NG=NM，又CG=BM，
∴NM²=NC²+BM²=（$\sqrt{5}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=23，
∴通道MN的長(zhǎng)為$\sqrt{23}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．