Question

15．如圖（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求證：AD∥CE
（2）如圖（b），AG、CG分別平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延長(zhǎng)線于F，判斷∠ABC與∠F的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延長(zhǎng)線于M，①$\frac{∠QBP}{∠ABC}$的值不變，②$\frac{∠QMC}{∠ABC}$的值不變；其中只有一個(gè)結(jié)論正確，請(qǐng)擇一證明．

Answer 1

分析 （1）先過(guò)B作BF∥AD，則∠DAB+∠ABF=180°，根據(jù)∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，求得∠FBC+∠BCE=360°-180°=180°，即可得出AD∥CE；
（2）先過(guò)點(diǎn)G作GH∥AD，則GH∥AD∥CE，根據(jù)AG、CG分別平分∠BAD、∠BCE，以及∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，求得∠AGC+$\frac{1}{2}$∠ABC=180°，再根據(jù)AG∥BF，求得∠F+∠AGC=180°，即可得到∠ABC=2∠F；
（3）先根據(jù)AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT，得到∠QBP=∠MCB，再根據(jù)∠QBC是△BCM的外角，得到∠QBC=∠M+∠MCB，進(jìn)而得到∠M=$\frac{1}{2}$∠ABC，即$\frac{∠QMC}{∠ABC}$的值為$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）過(guò)B作BF∥AD，則∠DAB+∠ABF=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠FBC+∠BCE=360°-180°=180°，
∴BF∥CE，
∴AD∥CE；

（2）∠ABC=2∠F
證明：過(guò)點(diǎn)G作GH∥AD，則GH∥AD∥CE，
∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，
∵AG、CG分別平分∠BAD、∠BCE，
∴∠AGC=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠BCE），
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，
即∠AGC+$\frac{1}{2}$∠ABC=180°，
∵AG∥BF，
∴∠F+∠AGC=180°，
∴∠ABC=2∠F；

（3）②$\frac{∠QMC}{∠ABC}$的值不變．
證明：由上面結(jié)論可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，
又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，
∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，
∵BQ∥AN，
∴∠NAB=∠ABQ，
∴∠QBP=$\frac{1}{2}$∠ABP=$\frac{1}{2}$∠CBP=$\frac{1}{2}$∠BCT=∠MCB，
∵∠QBC是△BCM的外角，
∴∠QBC=∠M+∠MCB，
∴∠M=∠QBC-∠MCB=∠QBC-∠QBP=∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
即$\frac{∠QMC}{∠ABC}$的值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形外角的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系；平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．