Question

4．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且B（1，0），C（0，3），將△BOC繞點O按逆時針方向旋轉90°，C點恰好與A重合．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若點P為線段AB上的任一動點，過點P作PE∥AC，交BC于點E，連結CP，求△PCE面積S的最大值；
（3）設拋物線的頂點為M，Q為它的圖象上的任一動點，若△OMQ為以OM為底的等腰三角形，求Q點的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求出點A坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先求出S_△PCE=S_△PBC-S_△PBE=-$\frac{3}{8}$（x+1）²+$\frac{3}{2}$，即可求出最大面積；
（3）先求出拋物線頂點坐標，由等腰三角形的兩腰相等建立方程求出點Q坐標．

解答 解：（1）∵B（1，0），C（0，3），
∴OB=1，OC=3．
∵△BOC繞點O按逆時針方向旋轉90°，C點恰好與A重合．
∴OA=OC=3，
∴A（-3，0），
∵點A，B，C在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=9}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²-2x+3，
（2）設點P（x，0），則PB=1-x，
∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，3），
∴OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×OC=6，
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△PBE}}{{S}_{△ACB}}=（\frac{PB}{AB}）^{2}$，
∴S_△PBE=$\frac{3}{8}$（1-x）²，
∴S_△PCE=S_△PBC-S_△PBE=$\frac{1}{2}$PB×OC-$\frac{3}{8}$（1-x）²=$\frac{1}{2}$（1-x）×3-$\frac{3}{8}$（1-x）²=-$\frac{3}{8}$（x+1）²+$\frac{3}{2}$，
當x=-1時，S_△PCE的最大值為$\frac{3}{2}$．
（3）∵二次函數(shù)的解析式為y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴頂點坐標（-1，4），
∵△OMQ為等腰三角形，OM為底，
∴MQ=OQ，
∴$\sqrt{（x+1）^{2}+（-{x}^{2}-2x+3-4）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（-{x}^{2}-2x+3）^{2}}$，
∴8x²+18x=7=0，
∴x=$\frac{-9±\sqrt{137}}{8}$，
∴y=$\frac{59+\sqrt{137}}{32}$或y=$\frac{59-\sqrt{137}}{32}$，
∴Q（$\frac{-9+\sqrt{137}}{8}$，$\frac{59+\sqrt{137}}{32}$），或（$\frac{-9-\sqrt{137}}{8}$，$\frac{59-\sqrt{137}}{32}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形面積的計算方法，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關鍵是確定出拋物線解析式，難點是確定三角形PCE的面積．