Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PD，線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到線段PE，且PE交BC于F，連接DF，過點(diǎn)E作EQ⊥AB的延長線于點(diǎn)Q．
（1）求線段PQ的長；
（2）問：點(diǎn)P在何處時(shí)，△PFD∽△BFP，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由題意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的邊長為1，易證得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性質(zhì)，求得線段PQ的長；
（2）易證得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得證得PA=PB，則可求得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠QPE=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠QPE，
∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90°，
在△ADP和△QPE中，

∠A=∠Q ∠ADP=∠QPE PD=PE

，
∴△ADP≌△QPE（AAS），
∴PQ=AD=1；

（2）∵△PFD∽△BFP，
∴

PB

BF

=

PD

PF

，
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，
∴△DAP∽△PBF，
∴

PD

PF

=

AP

BF

，
∴

AP

BF

=

PB

BF

，
∴PA=PB，
∴PA=

1

2

AB=

1

2

∴當(dāng)PA=

1

2

時(shí)，△PFD∽△BFP．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．