Question

已知a≠b且

a2

ab+b2

-

b2

a2+ab

=0．求證：

1

a

+

1

b

=

1

a+b

．

Answer 1

考點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算

專題：證明題

分析：由已知條件得到a⁴+a³b-ab³-b⁴=0，再利用因式分解得到∴（a²-b²）（a²+b²+ab）=0，而a≠b，則a²+b²+ab=0，根據(jù)完全平方公式得到（a+b）²=ab，再利用等式的性質(zhì)變形即可得到

1

a

+

1

b

=

1

a+b

．

解答：證明：∵

a2

ab+b2

-

b2

a2+ab

=0，
∴a⁴+a³b-ab³-b⁴=0，
∴（a²+b²）（a²-b²）+ab（a²-b²）=0，
∴（a²-b²）（a²+b²+ab）=0，
而a≠b，
∴a²+b²+ab=0，
∴a²+b²+2ab=ab，
∴（a+b）²=ab
∴

(a+b)2

ab

=1，
∴

a+b

ab

=

1

a+b

，
∴

1

a

+

1

b

=

1

a+b

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式的混合運(yùn)算：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．