Question

3．如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若點(diǎn)D是劣弧AC的中點(diǎn)，OH=1，AH=2，求弦AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，證得∠PCF+∠AC0=90°，即OC⊥PC，即可證得結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求出DH，再通過(guò)證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵DE⊥AB，
∴∠OAC+∠AFH=90°，
∵∠PDF=∠AFH，
∴∠PFC+∠OAC=90°，
∴∠PCF+∠AC0=90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；
（2）解：連接OD交AC于G．
∵OH=1，AH=2，
∴OA=3，即可得OD=3，
∴DH=$\sqrt{O{D}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，
∴AC⊥DO，
∴∠OGA=∠OHD=90°，
在△OGA和△OHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OGA=∠OHD}\\{∠DOA=∠AOD}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△OGA≌△OHD（AAS），
∴AG=DH，
∴AC=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．