Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標(biāo)是C（2，-1），與x軸交于點A（1，0），其對稱軸與x軸相交于點F．
（1）求拋物線解析式；
（2）連接AC，過點A做AC的垂線交拋物線于點D，交對稱軸于E，求直線AD的解析式；
（3）在（2）的條件下，連接BD，若點P在x軸正半軸，且以A、E、P為頂點的三角形與△ABD相似，求出所有滿足條件的P點坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標(biāo)是C（2，-1），
∴設(shè)該拋物線解析式為y=a（x-2）²-1（a≠0）．
把點A（1，0）代入，
解得a=1，
∴該函數(shù)解析式為：y=（x-2）²-1．（或y=x²-4x+3）．

（2）∵由（1）知，該函數(shù)解析式為：y=（x-2）²-1=（x-1）（x-3），
即y=（x-1）（x-3），
∴A（1，0）．
∵頂點坐標(biāo)是C（2，-1），CF是對稱軸，
∴AF=CF=1，∠AFC=90°，
∴∠FAC=45°，
∵AC⊥AD，
∴∠DAB=45°，故可設(shè)直線AD的解析式為y=x+b．
把點A（1，0）代入，
解得b=-1，
∴直線AD的解析式為y=x-1．

（3）∵由（2）知，∠DAB=45°，即∠EAF=45°，
∴在直角△AEF中，∠EAF=∠AEF=45°，
∴AF=EF=1，
∴AE=，AB=2．
∵點D的拋物線y=x²-4x+3與直線ADy=x-1的交點，
∴，
解得，（不合題意，舍去），或，
∴D（4，3），
∴AD=3，BD=
①如圖1，當(dāng)△ABD∽△AEP時，
=，即=，
解得AP=3，
∴P（4，0）；
②如圖2，當(dāng)△ABD∽△APE時，=，即=，解得：AP=，∴P（，0）；
③如圖3，當(dāng)△ABD∽△PAE時，=，即=，解得，AP=，∴P（1-，0）．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)是（4，0）、（，0）和（1-，0）．
分析：（1）可設(shè)該拋物線解析式為頂點式y(tǒng)=a（x-2）²-1．把點A的坐標(biāo)代入來求a的值即可；
（2）根據(jù)點A、C的坐標(biāo)求得∠FAC=45°，則∠DAB=45°，故可設(shè)直線AD的解析式為y=x+b．把點A的坐標(biāo)代入并求得b的值；
（3）以A、E、P為頂點的三角形與△ABD相似，對于這兩個三角形的對應(yīng)角與對應(yīng)邊沒有明確的情況下，需要分類討論：①如圖1，當(dāng)△ABD∽△AEP時；②如圖2，當(dāng)△ABD∽△APE時；③如圖3，當(dāng)△ABD∽△PAE時．根據(jù)這些相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以求得線段AP的長度．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)．第（3）小題中，用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．