Question

拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）設該拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得Q點到A點與C點的距離之和最短？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可將A、B兩點的坐標代入拋物線中即可求出待定系數的值．也就能求出拋物線的解析式．
（2）本題的關鍵是確定Q點的坐標，由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，因此連接BC，BC與對稱軸的交點就是Q點的坐標，可先根據B、C的坐標確定出直線BC的解析式，然后根據拋物線對稱軸的解析式即可求出Q點的坐標．

解答：解：（1）將A、B兩點坐標代入方程

-1-b+c=0 -9+3b+c=0

解得

b=2 c=3

．
∴y=-x²+2x+3．

（2）拋物線的對稱軸上存在點Q使得△QAC的周長最�。�
∵A點的對稱點為B點，BC與x=1的交點就是Q點．
由（1）可知C點坐標為（0，3）
設BC方程為y=kx+b
將B、C兩點坐標代入

0+b=3 3k+b=0

．
解得

k=-1 b=3

．
∴y=-x+3．
當x=1時，y=2△QAC的周長最�。�
因此存在這樣的Q點，且Q的坐標為（1，2）．

點評：本題主要考查了用待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的應用，（2）中確定Q點的位置是解題的關鍵．