Question

已知，四邊形ABCD是正方形，∠MAN= 45º，它的兩邊，邊AM、AN分別交CB、DC與點(diǎn)M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點(diǎn)H

 (1)如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；

    （2）如圖2，已知∠BAC =45º，.AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD =2，CD =3，求AD的長．

    小萍同學(xué)通過觀察圖①發(fā)現(xiàn)，△ABM和△AHM關(guān)于AM對(duì)稱，△AHN和△ADN關(guān)于AN對(duì)稱，于是她巧妙運(yùn)用這個(gè)發(fā)現(xiàn)，將圖形如圖③進(jìn)行翻折變換，解答了此題。你能根據(jù)小萍同學(xué)的思路解決這個(gè)問題嗎？

Answer 1

（1）答：AB＝AH. ……………………1分

證明：延長CB至E使BE=DN，連結(jié)AE

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，

∴∠ABE=180°－∠ABC＝90°

又∵AB＝AD

∴△ABE≌△AEN（SAS）……………………3分

∴∠1＝∠2，AE=AN

∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°

∴∠1+∠3＝90°－∠MAN＝45°

∴∠2+∠3＝45°

即∠EAM=45°

又AM=AM

∴△EAM≌△NAM（SAS）……………………5分

又EM和NM是對(duì)應(yīng)邊

∴AB＝AH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）……………………6分

(2)作△ABD關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對(duì)稱△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°

∴∠E＝∠F＝90°，

又∠BAC=45°

∴∠EAF=90°

延長EB、FC交于點(diǎn)G，則四邊形AEGF是矩形，

又AE=AD=AF

∴四邊形AEGF是正方形……………………8分

由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，FC＝DC＝3

設(shè)AD＝，則EG=AE=AD=FG＝

∴BG＝－2；CG＝－3；BC＝2+3＝5

在Rt△BGC中，……………………9分

解之 得，（舍去）

∴AD的長為6…………………………………………10分